667

Краткий ответ:

а) Периметр: \[ P_{ABC}=3+2\sqrt2. \]

б) Длины медиан: \[ m_a=\frac12,\qquad m_b=m_c=\frac{\sqrt{73}}4. \]

1. Найдём длины сторон

Формула расстояния между точками в пространстве: \[ PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2}. \]

\[ AB=\sqrt{\left(2-\frac32\right)^2+(2-1)^2+(-3+2)^2} =\sqrt{\frac14+1+1}=\frac32. \]

\[ AC=\sqrt{\left(2-\frac32\right)^2+(0-1)^2+(-1+2)^2} =\frac32. \]

\[ BC=\sqrt{(2-2)^2+(0-2)^2+(-1+3)^2} =\sqrt8=2\sqrt2. \]

Тогда \[ P_{ABC}=AB+AC+BC =\frac32+\frac32+2\sqrt2 =3+2\sqrt2. \]

2. Найдём медианы

Сначала найдём середины сторон:

\[ M_a\text{ — середина }BC: \quad M_a\left(2;1;-2\right). \]

\[ M_b\text{ — середина }AC: \quad M_b\left(\frac74;\frac12;-\frac32\right). \]

\[ M_c\text{ — середина }AB: \quad M_c\left(\frac74;\frac32;-\frac52\right). \]

Теперь вычислим длины отрезков от вершин до этих середин:

\[ m_a=AM_a= \sqrt{\left(2-\frac32\right)^2+(1-1)^2+(-2+2)^2} =\frac12. \]

\[ m_b=BM_b= \sqrt{\left(\frac74-2\right)^2+ \left(\frac12-2\right)^2+ \left(-\frac32+3\right)^2} \] \[ =\sqrt{\frac1{16}+\frac94+\frac94} =\sqrt{\frac{73}{16}} =\frac{\sqrt{73}}4. \]

Аналогично: \[ m_c=CM_c=\frac{\sqrt{73}}4. \]

Проверка: \(AB=AC\), поэтому треугольник равнобедренный и медианы \(m_b\) и \(m_c\) должны быть равны — так и получилось.