Задай мне два полных квадратных уравнение

Решим уравнение:

\[ 2x^2-5x+2=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9. \]

Тогда

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm3}{4}. \]

\[ x_1=\frac{5+3}{4}=2,\qquad x_2=\frac{5-3}{4}=\frac12. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=\frac12} \]

Решим второе уравнение:

\[ 3x^2+7x-6=0. \]

Здесь \(a=3\), \(b=7\), \(c=-6\).

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=7^2-4\cdot3\cdot(-6)=49+72=121. \]

\[ \sqrt D=11. \]

По формуле корней:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{-7\pm11}{6}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac{-7+11}{6}=\frac46=\frac23, \]

\[ x_2=\frac{-7-11}{6}=\frac{-18}{6}=-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=\frac23,\quad x_2=-3} \]

Реши усложнённое полное квадратное уравнение:

\[ 8x^2-11x-7=0. \]

Попробуй решить его через дискриминант \(D\). Здесь дискриминант не является полным квадратом, поэтому в ответе останется корень.

Решим уравнение:

\[ 8x^2-11x-7=0. \]

Здесь:

\[ a=8,\qquad b=-11,\qquad c=-7. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot8\cdot(-7) =121+224=345. \]

Так как \(D>0\), уравнение имеет два корня:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{11\pm\sqrt{345}}{16}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x_1=\frac{11+\sqrt{345}}{16},\qquad x_2=\frac{11-\sqrt{345}}{16}}. \]

Разберём по шагам уравнение

\[ 8x^2-11x-7=0. \]

1. Определяем коэффициенты

Сравниваем с общей формой:

\[ ax^2+bx+c=0. \]

Получаем:

\[ a=8,\qquad b=-11,\qquad c=-7. \]

2. Находим дискриминант

Формула:

\[ D=b^2-4ac. \]

Подставляем значения:

\[ D=(-11)^2-4\cdot8\cdot(-7). \]

Важно: произведение \(4\cdot8\cdot(-7)\) отрицательное, поэтому перед ним стоит минус:

\[ D=121-(-224)=121+224=345. \]

3. Используем формулу корней

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

Подставляем:

\[ x_{1,2}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{345}}{2\cdot8} =\frac{11\pm\sqrt{345}}{16}. \]

Знак \(\pm\) означает два корня:

\[ \boxed{x_1=\frac{11+\sqrt{345}}{16}}, \]

\[ \boxed{x_2=\frac{11-\sqrt{345}}{16}}. \]

Число \(345\) нельзя упростить под корнем, потому что в его разложении

\[ 345=3\cdot5\cdot23 \]

нет квадратных множителей.

Реши неполное квадратное уравнение:

\[ 6x^2-24=0. \]

В нём отсутствует член с \(x\), то есть \(b=0\).

Решим уравнение:

\[ 6x^2-24=0. \]

Перенесём \(-24\) вправо:

\[ 6x^2=24. \]

Разделим обе части на \(6\):

\[ x^2=4. \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x=\pm2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=-2}. \]

Реши ещё одно неполное квадратное уравнение:

\[ 5x^2+15x=0. \]

Здесь отсутствует свободный член \(c\).

Решим уравнение:

\[ 5x^2+15x=0. \]

Вынесем общий множитель \(5x\):

\[ 5x(x+3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ 5x=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=0, \]

или

\[ x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=-3}. \]

Давай разберём медленно.

Дано:

\[ 5x^2+15x=0. \]

1. Выносим общий множитель

В обоих слагаемых есть \(5x\):

\[ 5x^2=5x\cdot x,\qquad 15x=5x\cdot3. \]

Поэтому:

\[ 5x^2+15x=5x(x+3). \]

Уравнение принимает вид:

\[ 5x(x+3)=0. \]

2. Используем правило произведения

Если произведение равно нулю, то один из множителей равен нулю:

\[ 5x=0 \quad \text{или} \quad x+3=0. \]

Решаем:

\[ 5x=0 \Rightarrow x=0, \]

\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3. \]

Ответ

\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=-3}. \]

Проверка: при \(x=-3\)

\[ 5\cdot9+15\cdot(-3)=45-45=0. \]

Реши ещё одно неполное квадратное уравнение:

\[ 4x^2-36=0. \]

Здесь отсутствует член с \(x\).

Решим уравнение:

\[ 4x^2-36=0. \]

Перенесём \(-36\) вправо:

\[ 4x^2=36. \]

Разделим обе части на \(4\):

\[ x^2=9. \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x=\pm3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=-3}. \]

Если \(a=0\), уравнение не является квадратным: исчезает член \(ax^2\), и получается линейное уравнение.

Например, реши:

\[ 7x-21=0. \]

Для неполного квадратного уравнения обязательно \(a\ne0\).

Решим уравнение:

\[ 7x-21=0. \]

Перенесём \(-21\) вправо:

\[ 7x=21. \]

Разделим обе части на \(7\):

\[ x=\frac{21}{7}=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=3}. \]

Это линейное уравнение, потому что при \(a=0\) член с \(x^2\) отсутствует.

Объясним на примере:

\[ 7x-21=0. \]

Почему это не квадратное уравнение

Общий вид квадратного уравнения:

\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0. \]

Если \(a=0\), то член \(ax^2\) исчезает:

\[ 0\cdot x^2+7x-21=0, \]

и остаётся линейное уравнение:

\[ 7x-21=0. \]

Решение

Перенесём \(-21\) вправо:

\[ 7x=21. \]

Разделим обе части на \(7\):

\[ x=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=3}. \]

Важно: у неполного квадратного уравнения \(a\) всё равно должно быть \(a\ne0\); неполным оно становится, если \(b=0\) или \(c=0\).

Реши три неполных квадратных уравнения:

1. \(\;9x^2-81=0\)
2. \(\;4x^2+20x=0\)
3. \(\;7x^2=0\)

Во всех уравнениях \(a\ne0\), но отсутствует один или два других члена.

Решим второе уравнение:

\[ 4x^2+20x=0. \]

Вынесем общий множитель \(4x\):

\[ 4x(x+5)=0. \]

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

\[ 4x=0 \Rightarrow x_1=0, \]

\[ x+5=0 \Rightarrow x_2=-5. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=-5}. \]

Решим третье уравнение:

\[ 7x^2=0. \]

Разделим обе части на \(7\):

\[ x^2=0. \]

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю:

\[ \boxed{x=0}. \]

Это единственный корень, но он считается двукратным.

Реши три полных квадратных уравнения:

1. \[ 2x^2-7x+3=0 \]

2. \[ 3x^2+5x-2=0 \]

3. \[ 5x^2-13x+6=0 \]

Во всех уравнениях присутствуют все три члена: \(ax^2\), \(bx\) и \(c\), причём \(a\ne0\).