Вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0,04, какое наименьшее количество радиоламп надо отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать , чо доля нестандартных радиоламп будет отличаться от вероятности изготовления нестандартной радиолампы по абсолютной величине не более чем на 0,02
Краткий ответ: \(800\) радиоламп.
Пусть \(X\) — доля нестандартных радиоламп в выборке. Тогда:
- вероятность изготовления нестандартной лампы: \(p=0{,}04\);
- \(q=1-p=0{,}96\);
- допустимое отклонение: \(\varepsilon=0{,}02\).
По неравенству Чебышёва:
\[ P\left(\left|X-p\right|\le \varepsilon\right) \ge 1-\frac{pq}{n\varepsilon^2}. \]
Требуем, чтобы эта вероятность была не меньше \(0{,}88\):
\[ 1-\frac{0{,}04\cdot0{,}96}{n\cdot0{,}02^2}\ge0{,}88. \]
Вычислим:
\[ \frac{0{,}04\cdot0{,}96}{0{,}02^2} =\frac{0{,}0384}{0{,}0004}=96. \]
Тогда
\[ 1-\frac{96}{n}\ge0{,}88, \]
\[ \frac{96}{n}\le0{,}12, \]
\[ n\ge\frac{96}{0{,}12}=800. \]
Проверка:
\[ 1-\frac{96}{800}=1-0{,}12=0{,}88. \]
Ответ: \(\boxed{800}\) радиоламп.
Обсуждение
6 сообщенийРазберём похожую задачу по этой формуле?
Да, конечно. Пришли условие похожей задачи — разберём её по шагам по формуле
\[ P\left(\left|\frac{m}{n}-p\right|\le\varepsilon\right) \ge 1-\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}. \]
проведено 500 независимых испытаний, в 200 из них вероятность события А равна 0,4, в 180-0,5, в 120-0,6 оценить вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,05
\[ \boxed{P\ge 0{,}80512} \]
То есть искомая вероятность не меньше \(0{,}80512\) (примерно \(80{,}5\%\)).
Пусть \(\nu\) — частость события \(A\) в 500 испытаниях.
1. Средняя вероятность
\[ \overline p=\frac{200\cdot0{,}4+180\cdot0{,}5+120\cdot0{,}6}{500} =\frac{242}{500}=0{,}484. \]
Нужно оценить вероятность события
\[ |\nu-0{,}484|\le 0{,}05. \]
2. Дисперсия частости
Так как вероятности в испытаниях разные, складываем дисперсии отдельных испытаний:
\[ \sum p_iq_i= 200\cdot0{,}4\cdot0{,}6+ 180\cdot0{,}5\cdot0{,}5+ 120\cdot0{,}6\cdot0{,}4. \]
\[ \sum p_iq_i=48+45+28{,}8=121{,}8. \]
Поэтому
\[ D(\nu)=\frac{121{,}8}{500^2}=0{,}0004872. \]
3. Применим неравенство Чебышёва
\[ P\left(|\nu-\overline p|\le\varepsilon\right) \ge 1-\frac{D(\nu)}{\varepsilon^2}. \]
При \(\varepsilon=0{,}05\):
\[ P\left(|\nu-0{,}484|\le0{,}05\right) \ge 1-\frac{0{,}0004872}{0{,}05^2} \]
\[ =1-\frac{0{,}0004872}{0{,}0025} =1-0{,}19488 =0{,}80512. \]
Ответ:
\[ \boxed{P\left(|\nu-0{,}484|\le0{,}05\right)\ge0{,}80512.} \]
из 5000 проведенных испытаний в 2000 вероятность появления события А расна 0,2 в 1400-0,5 в 1600-0,6 найти границы в которых должна находиться частость появления события А если это необходимо гарантоировать свероятность 0,95
Пусть \(\nu\) — частость появления события \(A\) в \(5000\) испытаниях. Используем неравенство Чебышёва.
1. Средняя вероятность появления события
\[ \overline p= \frac{2000\cdot0{,}2+1400\cdot0{,}5+1600\cdot0{,}6}{5000} \]
\[ \overline p=\frac{400+700+960}{5000} =\frac{2060}{5000}=0{,}412. \]
2. Дисперсия частости
\[ D(\nu)=\frac{\sum p_i(1-p_i)}{5000^2}. \]
\[ \sum p_i(1-p_i)= 2000\cdot0{,}2\cdot0{,}8+ 1400\cdot0{,}5\cdot0{,}5+ 1600\cdot0{,}6\cdot0{,}4. \]
\[ \sum p_i(1-p_i)=320+350+384=1054. \]
Следовательно,
\[ D(\nu)=\frac{1054}{5000^2} =\frac{1054}{25000000} =0{,}00004216. \]
3. Находим допустимое отклонение
По неравенству Чебышёва:
\[ P\left(|\nu-\overline p|\le \varepsilon\right) \ge 1-\frac{D(\nu)}{\varepsilon^2}. \]
Требуем вероятность не менее \(0{,}95\):
\[ 1-\frac{0{,}00004216}{\varepsilon^2}=0{,}95. \]
\[ \varepsilon= \sqrt{\frac{0{,}00004216}{0{,}05}} \approx0{,}02904. \]
Значит,
\[ 0{,}412-0{,}02904\le \nu\le0{,}412+0{,}02904. \]
\[ \boxed{0{,}38296\le \nu\le0{,}44104}. \]
С округлением:
\[ \boxed{0{,}383\le \nu\le0{,}441}. \]
То есть с вероятностью не менее \(0{,}95\) частость появления события \(A\) будет находиться примерно в пределах от \(0{,}383\) до \(0{,}441\).
