Реши задание на изображении
Решение уравнений и проверка случаев
Я работаю с уравнением с абсолютной величиной: |2x - 5| = 1. Оно распадается на два случая, приводя к возможным решениям x = 3 или x = 2.
Затем я рассматриваю другое уравнение: 2|x + 4| = 3x - 2, и проверяю допустимые значения x, отмечая такие ограничения, как x ≥ 2/3. Я разбираю случаи для |x + 4|, нахожу, что x = 3 является решением, но x = -1/2 в итоге оказывается недопустимым.
Наконец, я сталкиваюсь с уравнением |x - 2| + |x + 5| = 9, определяя критические точки -5 и 2.
Обеспечение ясности вывода
Я вижу потенциальную проблему: разработчик указал, что если после основного ответа есть содержательный следующий шаг, я должен добавить отдельную последнюю строку-маркер. Я позабочусь о том, чтобы эта строка не считалась частью ответа. Пользователь попросил объяснить геометрический смысл уравнений 3 и 8, а объём должен составлять около 52 слов. Я сосредоточусь на том, чтобы сохранить подробность ответа, но сделать его кратким.
Краткий ответ:
- \(x=2;\ 3\)
- \(x=3\)
- \(x=-6;\ 3\)
- \(x=\dfrac{3\pm3\sqrt5}{2};\ \dfrac{3\pm\sqrt5}{2}\)
- \(x=\dfrac32;\ 4\)
- \(x=-6;\ -4;\ 5\)
- \(x=-5;\ 7\)
- \(x=-1;\ 7\)
Решение
Правила:
\[ |A|=b \Rightarrow A=b \text{ или } A=-b, \]
\[ |A|=|B| \Rightarrow A=B \text{ или } A=-B. \]
1.
\[ |2x-5|=1 \]
\[ 2x-5=1 \quad\text{или}\quad 2x-5=-1. \]
Отсюда:
\[ x=3 \quad\text{или}\quad x=2. \]
2.
\[ |x+4|=3x-2. \]
Правая часть должна быть неотрицательной:
\[ 3x-2\ge0. \]
Значит, \(x\ge\dfrac23\), поэтому \(x+4>0\), и
\[ x+4=3x-2. \]
\[ 2x=6,\qquad x=3. \]
Проверка:
\[ |3+4|=7,\qquad 3\cdot3-2=7. \]
3.
Точки смены знака: \(x=-5\) и \(x=2\).
- При \(x\le-5\):
\[ (2-x)+(-x-5)=9, \]
\[ -2x-3=9,\qquad x=-6. \]
- При \(-5\le x\le2\):
\[ (2-x)+(x+5)=7\ne9. \]
- При \(x\ge2\):
\[ (x-2)+(x+5)=9, \]
\[ 2x+3=9,\qquad x=3. \]
4.
\[ |x^2-3x-4|=5. \]
Рассмотрим два случая:
\[ x^2-3x-4=5 \]
\[ x^2-3x-9=0, \]
\[ x=\frac{3\pm\sqrt{45}}2 =\frac{3\pm3\sqrt5}{2}. \]
Второй случай:
\[ x^2-3x-4=-5, \]
\[ x^2-3x+1=0, \]
\[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. \]
5.
\[ |x+1|=|3x-7|. \]
Первый случай:
\[ x+1=3x-7, \]
\[ x=4. \]
Второй случай:
\[ x+1=-(3x-7), \]
\[ x+1=-3x+7, \]
\[ 4x=6,\qquad x=\frac32. \]
6.
\[ |x^2-25|=|x-5|. \]
Разложим разность квадратов:
\[ |x-5||x+5|=|x-5|. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ |x-5|\bigl(|x+5|-1\bigr)=0. \]
Отсюда:
\[ |x-5|=0 \Rightarrow x=5, \]
или
\[ |x+5|=1 \Rightarrow x=-4,\ -6. \]
7.
Пусть \(t=|x-1|\). Тогда \(t\ge0\), и
\[ |t-2|=4. \]
\[ t-2=4 \quad\text{или}\quad t-2=-4. \]
Получаем \(t=6\) или \(t=-2\). Значение \(t=-2\) невозможно, поэтому
\[ |x-1|=6. \]
\[ x-1=6 \quad\text{или}\quad x-1=-6. \]
\[ x=7 \quad\text{или}\quad x=-5. \]
8.
Рассмотрим промежутки, заданные числами \(0\) и \(6\).
- При \(x\le0\):
\[ -x+(6-x)=8, \]
\[ -2x=2,\qquad x=-1. \]
- При \(0\le x\le6\):
\[ x+(6-x)=6\ne8. \]
- При \(x\ge6\):
\[ x+(x-6)=8, \]
\[ 2x=14,\qquad x=7. \]
Проверка для последнего уравнения:
\[ |-1|+|-1-6|=1+7=8, \]
\[ |7|+|7-6|=7+1=8. \]
