Контрольная работа по алгебре 8 класс
Краткий ответ
Разность считаем как первый многочлен минус второй.
1. Сумма и разность многочленов
а) \(5x^2-3x+2\) и \(4x-7\)
\[ S=5x^2+x-5, \qquad D=5x^2-7x+9. \]
б) \(x^3+4x^2-6x+1\) и \(3x-2x^2-9\)
\[ S=x^3+2x^2-3x-8, \qquad D=x^3+6x^2-9x+10. \]
2. Представление в виде многочлена
а)
\[ 3a^2(4a-5)=12a^3-15a^2. \]
б)
\[ -2a(a^2-7a+3)=-2a^3+14a^2-6a. \]
в)
\[ (4x-1)(2x+3)-8x^2=10x-3. \]
г)
\[ (x-2)(6x^2-5x+1)-(11x-2)=6x^3-17x^2. \]
3. Формулы сокращённого умножения
а)
\[ (b-3)(b+3)=b^2-9. \]
б)
\[ (3a^2+4)(4-3a^2)=16-9a^4. \]
в)
\[ (b-4)^2=b^2-8b+16. \]
г)
\[ (7a+5)^2=49a^2+70a+25. \]
д)
\[ (b-1)^3=b^3-3b^2+3b-1. \]
е)
\[ (2a+1)(4a^2-2a+1)=8a^3+1. \]
Ключевые шаги
1. Сложение и вычитание многочленов
При сложении раскрываем скобки и складываем подобные слагаемые:
\[ (5x^2-3x+2)+(4x-7) =5x^2+(-3x+4x)+(2-7) =5x^2+x-5. \]
При вычитании перед вторым многочленом меняются знаки:
\[ (5x^2-3x+2)-(4x-7) =5x^2-3x+2-4x+7 =5x^2-7x+9. \]
2. Раскрытие скобок
Каждый член перед скобками умножается на каждый член внутри:
\[ -2a(a^2-7a+3) =-2a^3+14a^2-6a. \]
В пункте 2г:
\[ \begin{aligned} (x-2)(6x^2-5x+1) &=6x^3-5x^2+x-12x^2+10x-2\\ &=6x^3-17x^2+11x-2. \end{aligned} \]
Тогда
\[ 6x^3-17x^2+11x-2-(11x-2) =6x^3-17x^2. \]
3. Формулы
Используем основные формулы:
\[ (u-v)(u+v)=u^2-v^2, \]
\[ (u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2, \]
\[ (u-v)^3=u^3-3u^2v+3uv^2-v^3, \]
\[ (u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3. \]
Например,
\[ (2a+1)(4a^2-2a+1) =(2a)^3+1^3=8a^3+1. \]
Проверка показывает, что в пункте 2в квадратичные слагаемые сокращаются:
\[ (4x-1)(2x+3)=8x^2+10x-3, \]
поэтому после вычитания \(8x^2\) остаётся \(10x-3\).
