Как решать дроби, умножение, деление, плюс минус

Детство

• Илья Ильич вырос в имении Обломовка.
• Родители и слуги чрезмерно опекали его: за него всё делали, не позволяли трудиться и самостоятельно принимать решения.
• Его жизнь состояла из еды, сна и отдыха.
• Именно в детстве сформировалась его пассивность — «обломовщина». Это особенно показано в главе «Сон Обломова».

Юность

• Обломов учился в Верхлеве вместе с Андреем Штольцем.
• В юности он переехал в Петербург, поступил на службу и мечтал о деятельной, интересной жизни.
• Однако он быстро разочаровался в службе, не любил усилий и постепенно отказался от карьеры.
• Обломов был добрым и умным человеком, но не умел превращать свои планы в действия.

Зрелость

• В начале романа ему около 32–33 лет.
• Он почти всё время лежит на диване, носит халат, откладывает дела и не может привести в порядок своё имение.
• Любовь к Ольге Ильинской ненадолго пробуждает его: он начинает мечтать о переменах и браке, но из-за нерешительности отступает.
• Позже Обломов женится на Агафье Пшеницыной и выбирает спокойную, привычную жизнь.
• В итоге он окончательно погружается в «обломовщину» и умирает, так и не реализовав свои способности.

Главная мысль: Обломов не был плохим или глупым человеком. Его погубили воспитание, привычка к бездействию и неспособность самостоятельно бороться с жизненными трудностями.

Конечно. Разберём подробно.

Что такое общий знаменатель

В дроби

\[ \frac{3}{5} \]

число 3 — числитель, а 5 — знаменатель.

При сложении или вычитании дробей знаменатели должны стать одинаковыми. Это одинаковое число называют общим знаменателем.

Например:

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \]

Знаменатели \(3\) и \(4\) разные, поэтому сразу складывать дроби нельзя.

---

Как найти общий знаменатель

Шаг 1. Выпиши знаменатели

Например:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4} \]

Знаменатели: \(3\) и \(4\).

Шаг 2. Найди число, которое делится на оба знаменателя

Выпишем кратные:

• для \(3\): \(3, 6, 9, 12, 15,\ldots\)
• для \(4\): \(4, 8, 12, 16,\ldots\)

Первое общее число — \(12\). Значит, общий знаменатель — \(12\).

Обычно стараются найти наименьший общий знаменатель.

---

Как привести дроби к общему знаменателю

Рассмотрим:

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{4} \]

Общий знаменатель — \(12\).

Для первой дроби найдём дополнительный множитель:

\[ 12:3=4 \]

Значит, числитель и знаменатель первой дроби умножаем на \(4\):

\[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12} \]

Для второй дроби:

\[ 12:4=3 \]

Умножаем числитель и знаменатель на \(3\):

\[ \frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12} \]

Теперь знаменатели одинаковые:

\[ \frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{11}{12}} \]

---

Почему нужно умножать и числитель, и знаменатель

Потому что значение дроби не должно измениться:

\[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12} \]

Мы умножили дробь на единицу:

\[ \frac{4}{4}=1 \]

Поэтому дробь осталась равной самой себе.

---

Пример на вычитание

\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{8} \]

1. Находим общий знаменатель

Кратные \(6\):

\[ 6,12,18,24,\ldots \]

Кратные \(8\):

\[ 8,16,24,\ldots \]

Общий знаменатель — \(24\).

2. Приводим дроби

\[ 24:6=4 \]

\[ \frac{5}{6}=\frac{5\cdot4}{6\cdot4}=\frac{20}{24} \]

\[ 24:8=3 \]

\[ \frac{1}{8}=\frac{1\cdot3}{8\cdot3}=\frac{3}{24} \]

3. Вычитаем числители

\[ \frac{20}{24}-\frac{3}{24}=\frac{17}{24} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{17}{24}} \]

---

Если один знаменатель делится на другой

Например:

\[ \frac{3}{4}+\frac{5}{12} \]

\(12\) делится на \(4\), поэтому общий знаменатель сразу \(12\).

\[ \frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12} \]

Тогда:

\[ \frac{9}{12}+\frac{5}{12}=\frac{14}{12}=1\frac{1}{6} \]

---

Если знаменатели большие

Можно разложить их на простые множители.

Например, найти общий знаменатель для \(12\) и \(18\):

\[ 12=2\cdot2\cdot3 \]

\[ 18=2\cdot3\cdot3 \]

Берём все множители, которые нужны для обоих чисел:

\[ 2\cdot2\cdot3\cdot3=36 \]

Значит, наименьший общий знаменатель — \(36\).

Например:

\[ \frac{5}{12}+\frac{1}{18} \]

\[ \frac{5}{12}=\frac{15}{36}, \qquad \frac{1}{18}=\frac{2}{36} \]

\[ \frac{15}{36}+\frac{2}{36}=\frac{17}{36} \]

---

Главное правило

Чтобы сложить или вычесть дроби:

1. Найди общий знаменатель.
2. Раздели его на каждый старый знаменатель.
3. Умножь числитель и знаменатель на дополнительный множитель.
4. Сложи или вычти числители.
5. Знаменатель оставь прежним.
6. Сократи дробь, если это возможно.

Важно:

\[ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\neq\frac{2}{7} \]

Знаменатели при сложении не складываются.

Да. Вот пропуски для заполнения.

1. Треугольники

• Сумма углов \(=180^\circ\).
• Вид треугольника: прямоугольный.
• Площадь прямоугольного треугольника:

\[ S=\frac12ab \]

где \(a\) и \(b\) — катеты.

• Вид треугольника: равносторонний.
• Все стороны равны, углы по \(60^\circ\).
• У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при основании равны.
• Теорема косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]

• Теорема синусов:

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \]

---

2. Четырёхугольники

Фигура	Свойства	Площадь
Параллелограмм	Противоположные стороны равны	\(S=ah=ab\sin\alpha\)
Прямоугольник	Все углы прямые	\(S=ab\)
Ромб	Все стороны равны, диагонали перпендикулярны	\(\displaystyle S=\frac{d_1d_2}{2}\)
Квадрат	Все стороны и углы равны	\(S=a^2\)
Трапеция	Две стороны параллельны	\(\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h\)

У параллелограмма полностью можно записать так: противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Задачи для решения

1. Прямоугольный треугольник

Дано: катеты \(6\) см и \(8\) см.

По теореме Пифагора:

\[ c^2=6^2+8^2=36+64=100 \]

\[ c=\sqrt{100}=10\text{ см} \]

Площадь прямоугольного треугольника:

\[ S=\frac12 ah=\frac12\cdot6\cdot8=24\text{ см}^2 \]

Ответ: гипотенуза — \(10\) см, площадь — \(24\text{ см}^2\).

---

2. Площадь трапеции

Дано:

\[ a=10\text{ см},\quad b=6\text{ см},\quad h=4\text{ см} \]

Формула площади трапеции:

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]

Подставим значения:

\[ S=\frac{10+6}{2}\cdot4=\frac{16}{2}\cdot4=8\cdot4=32\text{ см}^2 \]

Ответ: \(32\text{ см}^2\).

---

3. Длина дуги

Дано:

\[ R=5\text{ см},\quad \alpha=60^\circ \]

Формула длины дуги:

\[ l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ} \]

Подставим:

\[ l=\frac{\pi\cdot5\cdot60^\circ}{180^\circ} =\frac{5\pi}{3}\text{ см} \]

Приблизительно:

\[ l\approx5{,}24\text{ см} \]

Ответ: \(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\) см, или примерно \(5{,}24\) см.

---

4. Площадь ромба

Дано: диагонали \(d_1=8\) см и \(d_2=6\) см.

Формула площади ромба:

\[ S=\frac{d_1d_2}{2} \]

\[ S=\frac{8\cdot6}{2}=24\text{ см}^2 \]

Ответ: \(24\text{ см}^2\).

---

5. Третья сторона треугольника

Дано:

\[ a=5\text{ см},\quad b=7\text{ см},\quad C=60^\circ \]

Используем теорему косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \]

Подставим значения:

\[ c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos60^\circ \]

Так как \(\cos60^\circ=\frac12\), получаем:

\[ c^2=25+49-70\cdot\frac12=74-35=39 \]

\[ c=\sqrt{39}\text{ см}\approx6{,}24\text{ см} \]

Ответ: \(\sqrt{39}\) см, или примерно \(6{,}24\) см.

Теоретическая часть — 10 вопросов

1. Б) \(180^\circ\)
   Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

2. Б) \(a^2+b^2=c^2\)
   Это теорема Пифагора для прямоугольного треугольника.

3. Б) \(S=\pi R^2\)
   Формула площади круга.

4. В) \(90^\circ\)
   Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

5. Б) \(\displaystyle S=\frac{a+b}{2}\cdot h\)
   Формула площади трапеции.

6. Б) Все стороны равны
   Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

7. Б) Квадрату коэффициента подобия
   \[ \frac{S_1}{S_2}=k^2 \]

8. Б) \(2\pi R\) и В) \(\pi D\)
   Обе формулы правильные, потому что \(D=2R\):

   \[ C=2\pi R=\pi D \]

   В тесте здесь получилось два правильных варианта.

9. Б) \(30^\circ\)
   Вписанный угол в два раза меньше центрального:

   \[ 60^\circ:2=30^\circ \]

10. В) \(11\)
    \[ \vec a\cdot\vec b=1\cdot3+2\cdot4=3+8=11 \]

Ответы кратко:

\[ \boxed{1-Б,\ 2-Б,\ 3-Б,\ 4-В,\ 5-Б,\ 6-Б,\ 7-Б,\ 8-Б\ и\ В,\ 9-Б,\ 10-В} \]

Практическая часть — решение 10 заданий

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты: \(3\) см и \(4\) см.

По теореме Пифагора:

\[ c^2=3^2+4^2=9+16=25 \]

\[ c=\sqrt{25}=5\text{ см} \]

Ответ: \(5\) см.

---

2. Площадь треугольника

\[ S=\frac12 ah \]

\[ S=\frac12\cdot8\cdot5=20\text{ см}^2 \]

Ответ: \(20\text{ см}^2\).

---

3. Площадь прямоугольника

\[ S=ab \]

\[ S=6\cdot9=54\text{ см}^2 \]

Ответ: \(54\text{ см}^2\).

---

4. Площадь ромба

\[ S=\frac{d_1d_2}{2} \]

\[ S=\frac{10\cdot12}{2}=60\text{ см}^2 \]

Ответ: \(60\text{ см}^2\).

---

5. Площадь трапеции

\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]

\[ S=\frac{12+8}{2}\cdot5 =\frac{20}{2}\cdot5 =50\text{ см}^2 \]

Ответ: \(50\text{ см}^2\).

---

6. Длина окружности

Радиус \(R=7\) см.

\[ C=2\pi R \]

\[ C=2\pi\cdot7=14\pi\text{ см} \]

При \(\pi\approx3{,}14\):

\[ C\approx14\cdot3{,}14=43{,}96\text{ см} \]

Ответ: \(14\pi\) см, или примерно \(43{,}96\) см.

---

7. Площадь круга

Радиус \(R=4\) см.

\[ S=\pi R^2 \]

\[ S=\pi\cdot4^2=16\pi\text{ см}^2 \]

При \(\pi\approx3{,}14\):

\[ S\approx16\cdot3{,}14=50{,}24\text{ см}^2 \]

Ответ: \(16\pi\text{ см}^2\), или примерно \(50{,}24\text{ см}^2\).

---

8. Площадь треугольника по двум сторонам и углу

Дано:

\[ a=5\text{ см},\quad b=6\text{ см},\quad \alpha=30^\circ \]

Формула:

\[ S=\frac12 ab\sin\alpha \]

Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем:

\[ S=\frac12\cdot5\cdot6\cdot\frac12 =7{,}5\text{ см}^2 \]

Ответ: \(7{,}5\text{ см}^2\).

---

9. Третья сторона треугольника

Дано:

\[ a=4\text{ см},\quad b=7\text{ см},\quad \alpha=60^\circ \]

По теореме косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha \]

\[ c^2=4^2+7^2-2\cdot4\cdot7\cdot\cos60^\circ \]

\[ c^2=16+49-56\cdot\frac12=65-28=37 \]

\[ c=\sqrt{37}\text{ см}\approx6{,}08\text{ см} \]

Ответ: \(\sqrt{37}\) см, или примерно \(6{,}08\) см.

---

10. Длина вектора \(\vec a\{6;8\}\)

Длина вектора находится по формуле:

\[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2} \]

\[ |\vec a|=\sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{36+64} =\sqrt{100}=10 \]

Ответ: \(10\).

---

Краткие ответы

\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\ 5\text{ см}\\ 2)&\ 20\text{ см}^2\\ 3)&\ 54\text{ см}^2\\ 4)&\ 60\text{ см}^2\\ 5)&\ 50\text{ см}^2\\ 6)&\ 14\pi\text{ см}\approx43{,}96\text{ см}\\ 7)&\ 16\pi\text{ см}^2\approx50{,}24\text{ см}^2\\ 8)&\ 7{,}5\text{ см}^2\\ 9)&\ \sqrt{37}\text{ см}\approx6{,}08\text{ см}\\ 10)&\ 10 \end{aligned} } \]