Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \[ \sin\alpha=\frac35,\qquad \operatorname{tg}\alpha=-\frac34,\qquad \cos2\alpha=\frac7{25}. \]

1. \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\);
2. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\);
3. \(\sqrt3\);
4. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

3. Оба равенства доказаны ниже.

1. \(\sin\alpha\cos\beta\);
2. \(\cos2\alpha\);
3. \(\cos(\alpha-\beta)\).

Решение

1

Так как \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), угол находится во II четверти. Поэтому \(\sin\alpha>0\).

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac9{25}}=\frac35. \]

\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34. \]

\[ \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 =2\cdot\frac{16}{25}-1 =\frac{32}{25}-\frac{25}{25} =\frac7{25}. \]

Проверка:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac9{25}+\frac{16}{25}=1. \]

---

2

1. \[ \cos135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ) =-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

2. \[ \sin\frac{8\pi}{3} =\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =\sin\frac{2\pi}{3} =\frac{\sqrt3}{2}. \]

3. \[ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{3} =\operatorname{tg}\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right) =\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} =\sqrt3. \]

4. Используем формулу \[ \cos^2x-\sin^2x=\cos2x. \]

Тогда

\[ \cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8} =\cos\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}. \]

---

3. Доказательство тождеств

1)

Так как

\[ \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha, \]

то

\[ 3\cos2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha =3\cos2\alpha-\cos2\alpha =2\cos2\alpha. \]

Тождество доказано.

2)

Применим формулу разности синусов:

\[ \sin x-\sin y =2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}. \]

При \(x=5\alpha\), \(y=3\alpha\):

\[ \sin5\alpha-\sin3\alpha =2\cos4\alpha\sin\alpha. \]

Следовательно,

\[ \frac{\sin5\alpha-\sin3\alpha}{2\cos4\alpha} = \frac{2\cos4\alpha\sin\alpha}{2\cos4\alpha} =\sin\alpha. \]

Тождество верно при \(\cos4\alpha\ne0\), поскольку при \(\cos4\alpha=0\) исходная дробь не определена.

---

4

1)

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha, \qquad \sin(-\beta)=-\sin\beta. \]

Поэтому

\[ \begin{aligned} &\sin(\alpha-\beta) -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin(-\beta)\\ &=\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta\\ &=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta) +\cos\alpha\sin\beta\\ &=\sin\alpha\cos\beta. \end{aligned} \]

2)

\[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha. \]

Тогда

\[ \cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =\cos2\alpha. \]

3)

\[ \begin{aligned} 2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta) &=2\sin\alpha\sin\beta +\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ &=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta\\ &=\cos(\alpha-\beta). \end{aligned} \]