Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(\boxed{x=-2;\ 5}\)
- \(\boxed{x=4}\)
- \(\boxed{x=-2;\ 3}\)
- \(\boxed{x=1;\ 4}\)
- \(\boxed{x=-4;\ -\frac23}\)
- \(\boxed{x=-3;\ -1;\ 2}\)
- \(\boxed{x=-2;\ 0;\ 4;\ 6}\)
- \(\boxed{x=0;\ 5}\)
Решение
Основные правила:
\[ |A|=b \Rightarrow A=b \text{ или } A=-b; \]
\[ |A|=|B| \Rightarrow A=B \text{ или } A=-B. \]
1. \(\lvert 2x-3\rvert=7\)
\[ 2x-3=7 \quad \text{или} \quad 2x-3=-7. \]
\[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-2. \]
Проверка: при \(x=5\) и \(x=-2\) значение модуля равно \(7\).
2. \(\lvert x+1\rvert=2x-3\)
Левая часть неотрицательна, поэтому:
\[ 2x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac32. \]
При таких \(x\) выражение \(x+1>0\), значит:
\[ x+1=2x-3. \]
\[ x=4. \]
Проверка:
\[ |4+1|=5,\qquad 2\cdot4-3=5. \]
3. \(\lvert x-2\rvert+\lvert x+1\rvert=5\)
Точки смены знака: \(x=-1\) и \(x=2\).
1) \(x\le -1\):
\[ (2-x)+(-x-1)=5, \]
\[ 1-2x=5 \Rightarrow x=-2. \]
2) \(-1\le x\le 2\):
\[ (2-x)+(x+1)=3, \]
а \(3\ne5\), решений нет.
3) \(x\ge2\):
\[ (x-2)+(x+1)=5, \]
\[ 2x-1=5 \Rightarrow x=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-2;\ 3}. \]
4. \(\lvert x^2-5x+6\rvert=2\)
Рассмотрим два случая:
\[ x^2-5x+6=2 \]
или
\[ x^2-5x+6=-2. \]
Первый случай:
\[ x^2-5x+4=0, \]
\[ (x-1)(x-4)=0. \]
\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=4. \]
Второй случай:
\[ x^2-5x+8=0. \]
Дискриминант:
\[ D=25-32=-7<0, \]
действительных корней нет.
Проверка: при \(x=1\) и \(x=4\) выражение под модулем равно \(2\), поэтому модуль равен \(2\).
5. \(\lvert x-1\rvert=\lvert 2x+3\rvert\)
\[ x-1=2x+3 \]
или
\[ x-1=-(2x+3). \]
Первый случай:
\[ x=-4. \]
Второй случай:
\[ x-1=-2x-3, \]
\[ 3x=-2 \Rightarrow x=-\frac23. \]
Проверка:
\[ x=-4:\quad |-5|=|-5|; \]
\[ x=-\frac23:\quad \left|-\frac53\right|=\left|\frac53\right|. \]
6. \(\lvert x^2-4\rvert=\lvert x-2\rvert\)
Разложим разность квадратов:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Тогда:
\[ |x-2||x+2|=|x-2|. \]
Возможны два случая.
1) \(x-2=0\):
\[ x=2. \]
2) \(x-2\ne0\):
можно сократить на \(|x-2|\):
\[ |x+2|=1. \]
\[ x+2=1 \quad \text{или} \quad x+2=-1. \]
\[ x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-3;\ -1;\ 2}. \]
7. \(\bigl||x-2|-3\bigr|=1\)
Пусть
\[ t=|x-2|. \]
Тогда:
\[ |t-3|=1. \]
Следовательно,
\[ t-3=1 \quad \text{или} \quad t-3=-1. \]
\[ t=4 \quad \text{или} \quad t=2. \]
Получаем:
\[ |x-2|=4 \Rightarrow x=6 \text{ или } x=-2; \]
\[ |x-2|=2 \Rightarrow x=4 \text{ или } x=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-2;\ 0;\ 4;\ 6}. \]
При подстановке каждого корня левая часть равна \(1\).
8. \(\lvert x-1\rvert+\lvert x-4\rvert=5\)
Точки смены знака: \(x=1\) и \(x=4\).
1) \(x\le1\):
\[ (1-x)+(4-x)=5, \]
\[ 5-2x=5 \Rightarrow x=0. \]
2) \(1\le x\le4\):
\[ (x-1)+(4-x)=3, \]
решений нет.
3) \(x\ge4\):
\[ (x-1)+(x-4)=5, \]
\[ 2x-5=5 \Rightarrow x=5. \]
Проверка:
\[ |0-1|+|0-4|=1+4=5; \]
\[ |5-1|+|5-4|=4+1=5. \]
\[ \boxed{x=0;\ 5} \]
