Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Остальные углы: \(72^\circ,\ 108^\circ,\ 108^\circ\).
2. Четыре угла по \(62^\circ\) и четыре угла по \(118^\circ\).
3. Два решения: \(67^\circ,\ 67^\circ\) или \(46^\circ,\ 88^\circ\).
4. \(BD=15\) см. Да, данных достаточно: медиана и биссектриса из \(B\) тоже равны \(15\) см.
5. \(AD=21\) см.
6. \(P_{ABC}=36\) см.

Решение

1. Пересечение двух прямых

Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают \(180^\circ\).

\[ 180^\circ-72^\circ=108^\circ. \]

Значит, углы равны:

\[ 72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ. \]

---

2. Параллельные прямые и секущая

При пересечении параллельных прямых секущей вертикальные, соответственные и накрест лежащие углы равны.

Смежный угол:

\[ 180^\circ-62^\circ=118^\circ. \]

Поэтому из восьми углов:

• четыре угла равны \(62^\circ\);
• четыре угла равны \(118^\circ\).

---

3. Равнобедренный треугольник

Возможны два случая.

1) Угол \(46^\circ\) — вершиной угол:

\[ \frac{180^\circ-46^\circ}{2}=67^\circ. \]

Остальные углы:

\[ 67^\circ\text{ и }67^\circ. \]

2) Угол \(46^\circ\) — один из углов при основании:

Второй угол при основании тоже равен \(46^\circ\), поэтому:

\[ 180^\circ-46^\circ-46^\circ=88^\circ. \]

Остальные углы:

\[ 46^\circ\text{ и }88^\circ. \]

Итак, задача имеет два решения.

---

4. Высота в равнобедренном треугольнике

Так как \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), высота \(BD\) одновременно является медианой и биссектрисой. Поэтому:

\[ AB=BC,\qquad AD=DC. \]

Обозначим:

\[ AB=BC=a,\qquad AD=DC=b. \]

Периметр \(ABC\):

\[ 2a+2b=50, \]

\[ a+b=25. \]

Периметр \(ABD\):

\[ AB+AD+BD=40, \]

\[ a+b+BD=40. \]

Подставим \(a+b=25\):

\[ 25+BD=40, \]

\[ BD=15\text{ см}. \]

Следовательно, медиана и биссектриса, проведённые из \(B\), также имеют длину:

\[ \boxed{15\text{ см}}. \]

Проверка:

\[ P_{ABD}=25+15=40\text{ см}. \]

---

5. Прямоугольный треугольник

Так как \(\angle B=90^\circ\), сторона \(AC\) — гипотенуза. При \(\angle A=30^\circ\):

\[ BC=\frac{AC}{2}. \]

По теореме о проекции катета:

\[ BC^2=AC\cdot CD. \]

Пусть \(AC=x\). Тогда \(BC=\frac{x}{2}\), а \(CD=7\):

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^2=7x. \]

\[ \frac{x^2}{4}=7x. \]

Так как \(x>0\), получаем:

\[ x=28. \]

Значит,

\[ AD=AC-CD=28-7=21\text{ см}. \]

\[ \boxed{AD=21\text{ см}} \]

---

6. Окружность, вписанная в треугольник

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

\[ AM=AK=5{,}5\text{ см}, \]

\[ BM=BN=4{,}2\text{ см}, \]

\[ CN=CK=8{,}3\text{ см}. \]

Тогда:

\[ AB=AM+MB=5{,}5+4{,}2=9{,}7\text{ см}, \]

\[ BC=BN+CN=4{,}2+8{,}3=12{,}5\text{ см}, \]

\[ AC=AK+KC=5{,}5+8{,}3=13{,}8\text{ см}. \]

Периметр:

\[ P=9{,}7+12{,}5+13{,}8=36\text{ см}. \]

\[ \boxed{P_{ABC}=36\text{ см}} \]