Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Вычислите:
   а) \(4\);
   б) \(-\dfrac43\);
   в) \(\dfrac32=1{,}5\);
   г) \(\dfrac76\);
   д) \(9{,}2=\dfrac{46}{5}\).

2. Решите уравнения:
   а) \(x=\pm2\);
   б) \(x=-3\);
   в) действительных решений нет.

3. \(\sqrt[4]{3}<\sqrt4\).

4. а) \(3\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{162}\);
   б) \(\sqrt[3]{81x^5}=3x\sqrt[3]{3x^2}\).

Решение

1. Вычисления

а)
\[ \sqrt[3]{64}=4, \] так как \(4^3=64\).

б)
\[ -2\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}, \] поэтому \[ \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} =\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} =-\frac43. \]

в)
\[ 0{,}5\sqrt[4]{81}=0{,}5\cdot3=\frac32. \]

г)
\[ \sqrt[4]{\frac{81}{16}}+\sqrt[3]{-\frac1{27}} =\frac32-\frac13 =\frac96-\frac26 =\frac76. \]

д) Используем свойство
\[ \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}. \] Тогда \[ \sqrt[3]{0{,}04}\cdot\sqrt[3]{0{,}2} =\sqrt[3]{0{,}008}=0{,}2, \] а \[ \sqrt[4]{3^8}=3^2=9. \] Следовательно, \[ 0{,}2+9=9{,}2. \]

2. Уравнения

а)
\[ 5x^4-80=0, \] \[ 5x^4=80,\qquad x^4=16=2^4. \] Значит, \[ x=\pm2. \]

Проверка: \[ 5\cdot2^4-80=80-80=0. \]

б)
\[ \frac13x^3+9=0, \] \[ \frac13x^3=-9,\qquad x^3=-27. \] Следовательно, \[ x=-3. \]

в)
\[ x^{10}+1=0,\qquad x^{10}=-1. \] Но для любого действительного \(x\) число \(x^{10}\ge0\), поэтому решений нет.

3. Сравнение

\[ \sqrt4=2=\sqrt[4]{16}. \] Так как \(3<16\), то \[ \boxed{\sqrt[4]{3}<\sqrt4}. \]

4. Преобразование корней

а) Чтобы внести множитель под знак корня четвёртой степени, возводим его в четвёртую степень: \[ 3\sqrt[4]{2} =\sqrt[4]{3^4\cdot2} =\sqrt[4]{162}. \]

б) Разложим подкоренное выражение: \[ 81x^5=27x^3\cdot3x^2. \] Тогда \[ \sqrt[3]{81x^5} =\sqrt[3]{27x^3}\cdot\sqrt[3]{3x^2} =3x\sqrt[3]{3x^2}. \]