Реши нижний пример по примеру верхнего.
Ответ: \[ x\in\{2\}\cup[3;5). \]
Решаем неравенство: \[ \frac{(x-3)(x-2)^2}{(x-5)^3}\le 0. \]
ОДЗ: \[ x-5\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne5. \]
Нули числителя: \[ x-3=0\Rightarrow x=3, \qquad (x-2)^2=0\Rightarrow x=2. \]
Расставляем критические точки: \[ 2,\quad 3,\quad 5. \]
Знак выражения:
- на \((-\infty;2)\) — «+»;
- при \(x=2\) выражение равно нулю;
- на \((2;3)\) — «+»;
- при \(x=3\) выражение равно нулю;
- на \((3;5)\) — «−»;
- \(x=5\) исключается;
- на \((5;+\infty)\) — «+».
Берём нулевые значения и отрицательный промежуток, так как знак \(\le0\): \[ \boxed{x\in\{2\}\cup[3;5)}. \]
Проверка: \(x=2\) и \(x=3\) дают \(0\), а при \(x=4\) дробь отрицательна; \(x=5\) не входит в ОДЗ.
Обсуждение
2 сообщенияНапиши также линейное уравнение
Конечно. Линейные уравнения для нахождения критических точек:
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3; \]
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2; \]
\[ x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=5. \]
При этом \(x=5\) исключается из ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль. Поэтому:
\[ \boxed{x\in\{2\}\cup[3;5)}. \]
