Решение

Я читаю запись на фото так:

1. \(2\cos^2 x+4\cos 2x=3\sin 2x\);
2. \(f(x)=x^3-2x+1\);
3. \(f(x)=x^3-3x^2-9x\).

Краткие ответы

1. \[ x=\arctan\frac{-3+\sqrt{33}}4+\pi k \quad\text{или}\quad x=\arctan\frac{-3-\sqrt{33}}4+\pi k, \quad k\in\mathbb Z. \]

2. \[ f'(x)=3x^2-2. \]

3. Функция возрастает на \((-\infty;-1]\) и \([3;+\infty)\), убывает на \([-1;3]\); максимум \((-1;5)\), минимум \((3;-27)\).

---

1. Решение тригонометрического уравнения

Используем:

\[ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x,\qquad \sin 2x=2\sin x\cos x. \]

Тогда:

\[ 2\cos^2x+4(\cos^2x-\sin^2x) =6\sin x\cos x. \]

После упрощения:

\[ 3\cos^2x-3\sin x\cos x-2\sin^2x=0. \]

При \(\cos x=0\) исходное уравнение не выполняется, поэтому делим на \(\cos^2x\):

\[ 3-3\tan x-2\tan^2x=0. \]

Или:

\[ 2\tan^2x+3\tan x-3=0. \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ \tan x=\frac{-3\pm\sqrt{33}}4. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x=\arctan\frac{-3+\sqrt{33}}4+\pi k} \]

или

\[ \boxed{x=\arctan\frac{-3-\sqrt{33}}4+\pi k}, \qquad k\in\mathbb Z. \]

---

2. Производная

\[ f(x)=x^3-2x+1. \]

По правилу нахождения производной:

\[ (x^3)'=3x^2,\qquad (-2x)'=-2,\qquad 1'=0. \]

Поэтому:

\[ \boxed{f'(x)=3x^2-2}. \]

---

3. Исследование функции

\[ f(x)=x^3-3x^2-9x. \]

Область определения

\[ D(f)=\mathbb R. \]

Производная и критические точки

\[ f'(x)=3x^2-6x-9 =3(x^2-2x-3) =3(x+1)(x-3). \]

Критические точки:

\[ x=-1,\qquad x=3. \]

Знаки производной:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-1)&-1&(-1;3)&3&(3;+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ f(x)&\nearrow&\text{максимум}&\searrow&\text{минимум}&\nearrow \end{array} \]

Значения:

\[ f(-1)=-1-3+9=5, \]

\[ f(3)=27-27-27=-27. \]

Значит:

• максимум: \(\boxed{(-1;5)}\);
• минимум: \(\boxed{(3;-27)}\).

Нули функции

\[ x^3-3x^2-9x=x(x^2-3x-9). \]

Поэтому:

\[ x_1=0, \]

\[ x_{2,3}=\frac{3\pm\sqrt{45}}2 =\frac{3\pm3\sqrt5}{2}. \]

Точки пересечения с осью \(Ox\):

\[ \boxed{\left(\frac{3-3\sqrt5}{2};0\right),\ (0;0),\ \left(\frac{3+3\sqrt5}{2};0\right)}. \]

Точка перегиба

\[ f''(x)=6x-6=6(x-1). \]

\[ f''(x)=0 \Rightarrow x=1. \]

\[ f(1)=1-3-9=-11. \]

Точка перегиба:

\[ \boxed{(1;-11)}. \]

Для построения графика отметь точки:

\[ (-1;5),\quad (3;-27),\quad (1;-11), \]

а также три нуля функции. График кубической функции идёт слева вниз, затем достигает максимума, опускается к минимуму и направляется вправо вверх.

Если во втором задании стоит \(x^2\), а не \(x^3\), тогда производная будет \(f'(x)=2x-2\).