Қысқаша жауап

\[ A_{rs}=(-1)^{r+s}M_{rs}, \] мұндағы \(M_{rs}\) — минор, \(A_{rs}\) — алгебралық толықтауыш.

1.1

\[ M_{42}=-24,\qquad A_{42}=-24; \]

\[ M_{31}=-45,\qquad A_{31}=-45; \]

\[ \boxed{\Delta=-149}. \]

1.2

\[ M_{32}=36,\qquad A_{32}=-36; \]

\[ M_{33}=36,\qquad A_{33}=36; \]

\[ \boxed{\Delta=-216}. \]

---

1.1

Берілген анықтауышта \(i=4,\ j=1\). Сондықтан табылатын элементтер:

\[ a_{i2}=a_{42}=3,\qquad a_{3j}=a_{31}=1. \]

Минорлар мен алгебралық толықтауыштар

\[ M_{42}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 3&-2&5\\ 1&6&4 \end{vmatrix} =-24. \]

\(4+2=6\) — жұп сан, сондықтан

\[ A_{42}=(-1)^6M_{42}=-24. \]

\[ M_{31}= \begin{vmatrix} 1&-2&0\\ 6&-2&5\\ 3&5&1 \end{vmatrix} =-45. \]

\(3+1=4\) — жұп сан, сондықтан

\[ A_{31}=(-1)^4M_{31}=-45. \]

1) \(4\)-жол бойынша жіктеу

Қажетті толықтауыштар:

\[ \begin{array}{c|rrrr} & A_{41}&A_{42}&A_{43}&A_{44}\\ \hline &-10&-24&-17&28 \end{array} \]

Сонда

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{41}A_{41}+a_{42}A_{42}+a_{43}A_{43}+a_{44}A_{44}\\ &=2(-10)+3(-24)+5(-17)+1\cdot28\\ &=-20-72-85+28\\ &=\boxed{-149}. \end{aligned} \]

2) \(1\)-баған бойынша жіктеу

\[ \begin{array}{c|rrrr} & A_{11}&A_{21}&A_{31}&A_{41}\\ \hline &-198&38&-45&-10 \end{array} \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}+a_{41}A_{41}\\ &=1(-198)+3(38)+1(-45)+2(-10)\\ &=-198+114-45-20\\ &=\boxed{-149}. \end{aligned} \]

3) \(4\)-жолда алдын ала нөлдер алу

\(4\)-жолға басқа жолдардың еселіктерін қосамыз:

\[ R_4\leftarrow R_4+\frac9{14}R_1-\frac{17}{28}R_2-\frac{23}{28}R_3. \]

Нәтижесінде

\[ R_4=(0,\ 0,\ 0,\ -\tfrac{149}{28}). \]

Бұл түрлендіру анықтауышты өзгертпейді. Ал \(M_{44}=28\), сондықтан

\[ \Delta= -\frac{149}{28}\cdot 28 =\boxed{-149}. \]

---

1.2

Бұл анықтауышта \(i=3,\ j=3\). Сондықтан

\[ a_{i2}=a_{32}=2,\qquad a_{3j}=a_{33}=-1. \]

Минорлар мен алгебралық толықтауыштар

\[ M_{32}= \begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 6&-9&0\\ 4&0&6 \end{vmatrix} =36. \]

\(3+2=5\) — тақ сан, сондықтан

\[ A_{32}=(-1)^5M_{32}=-36. \]

\[ M_{33}= \begin{vmatrix} 2&0&3\\ 6&3&0\\ 4&2&6 \end{vmatrix} =36. \]

\(3+3=6\) — жұп сан, сондықтан

\[ A_{33}=(-1)^6M_{33}=36. \]

1) \(3\)-жол бойынша жіктеу

\[ \begin{array}{c|rrrr} & A_{31}&A_{32}&A_{33}&A_{34}\\ \hline &72&-36&36&-36 \end{array} \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+a_{34}A_{34}\\ &=0\cdot72+2(-36)+(-1)\cdot36+3(-36)\\ &=-72-36-108\\ &=\boxed{-216}. \end{aligned} \]

2) \(3\)-баған бойынша жіктеу

\[ \begin{array}{c|rrrr} & A_{13}&A_{23}&A_{33}&A_{43}\\ \hline &72&12&36&-54 \end{array} \]

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}\\ &=(-1)\cdot72+(-9)\cdot12+(-1)\cdot36+0\cdot(-54)\\ &=-72-108-36\\ &=\boxed{-216}. \end{aligned} \]

3) \(3\)-жолда алдын ала нөлдер алу

\[ R_3\leftarrow R_3+2R_1-\frac13R_2-\frac12R_4. \]

Сонда

\[ R_3=(0,\ 0,\ 0,\ 6). \]

\(M_{34}=36\), ал \(3+4=7\) болғандықтан,

\[ A_{34}=-36. \]

Демек,

\[ \Delta=6\cdot(-36)=\boxed{-216}. \]

Үш тәсілдің нәтижелері де бірдей:

\[ \boxed{\Delta_{1.1}=-149,\qquad \Delta_{1.2}=-216}. \]