Ответы

Краткие ответы:

а) \(\displaystyle \frac{x-5}{y-1},\quad y\ne1\);

б) \(\displaystyle \frac{a+b}{c-3},\quad c\ne3\);

в) \(2,\quad m\ne n\);

г) \(-5,\quad p\ne2q\);

д) \(a-4,\quad a\ne4\);

е) \(x-3y,\quad x\ne3y\).

Решение

Главное правило: противоположные знаменатели отличаются знаком: \[ 1-y=-(y-1),\qquad 3-c=-(c-3). \]

а) \[ \frac{x}{y-1}+\frac5{1-y} =\frac{x}{y-1}-\frac5{y-1} =\frac{x-5}{y-1}. \]

б) \[ \frac a{c-3}-\frac b{3-c} =\frac a{c-3}+\frac b{c-3} =\frac{a+b}{c-3}. \]

в) \[ \frac{2m}{m-n}+\frac{2n}{n-m} =\frac{2m}{m-n}-\frac{2n}{m-n} =\frac{2(m-n)}{m-n}=2. \]

г) \[ \frac{5p}{2q-p}+\frac{10q}{p-2q} =\frac{5p}{2q-p}-\frac{10q}{2q-p} \] \[ =\frac{5(p-2q)}{2q-p}=-5, \] так как \(p-2q=-(2q-p)\).

д) \[ \frac{a^2+16}{a-4}+\frac{8a}{4-a} =\frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4} \] \[ =\frac{a^2-8a+16}{a-4} =\frac{(a-4)^2}{a-4}=a-4. \]

е) \[ \frac{x^2+9y^2}{x-3y}+\frac{6xy}{3y-x} =\frac{x^2+9y^2}{x-3y}-\frac{6xy}{x-3y} \] \[ =\frac{x^2-6xy+9y^2}{x-3y} =\frac{(x-3y)^2}{x-3y}=x-3y. \]

Проверка: сокращение выполнено только при ненулевых знаменателях, поэтому ограничения \(y\ne1\), \(c\ne3\), \(m\ne n\), \(p\ne2q\), \(a\ne4\), \(x\ne3y\) обязательны.