Сделай и объясни номер 3.34

Краткий ответ: в условии на фото, вероятно, опечатка. Если точка \(M\) лежит вне угла \(AOB\), равенство с полусуммой вообще неверно.

Например, пусть
\[ \angle AOB=60^\circ. \] Так как \(OC\) — биссектриса, то \[ \angle AOC=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ. \] Пусть луч \(OM\) находится вне угла и образует с \(OA\) угол \(20^\circ\). Тогда \[ \angle AOM=20^\circ,\qquad \angle BOM=80^\circ. \] Но \[ \frac{\angle AOM+\angle BOM}{2} =\frac{20^\circ+80^\circ}{2}=50^\circ\ne30^\circ. \]

Значит, при слове «вне» доказать утверждение нельзя.

Если же должно быть написано «точка \(M\) лежит внутри угла \(AOB\)», тогда:

\[ \angle AOC=\angle COB. \]

Обозначим их величину через \(x\). Луч \(OM\) делит угол \(AOB\), поэтому \[ \angle AOB=\angle AOM+\angle MOB. \] Так как \(\angle MOB=\angle BOM\), а \(OC\) — биссектриса, \[ 2x=\angle AOM+\angle BOM. \] Следовательно, \[ \boxed{\angle AOC=x= \frac{\angle AOM+\angle BOM}{2}}. \]