Расскажи подробно что такое проценты

Краткий ответ

Процент — это одна сотая часть целого:

\[ 1\%=\frac{1}{100}=0{,}01 \]

Поэтому:

\[ p\%=\frac{p}{100} \]

Например:

\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25=\frac14 \]

То есть \(25\%\) — это четверть целого.

1. Как понимать проценты

Целое принимают за \(100\%\).

Процент	Доля целого
\(1\%\)	\(\frac{1}{100}\)
\(10\%\)	\(\frac{1}{10}\)
\(25\%\)	\(\frac14\)
\(50\%\)	половина
\(75\%\)	три четверти
\(100\%\)	всё целое
\(200\%\)	два целых

Процент может быть и больше \(100\%\). Например, \(150\%\) — это полтора целого.

2. Перевод процентов в дробь и обратно

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить число процентов на \(100\):

\[ 37\%=\frac{37}{100}=0{,}37 \]

\[ 8\%=0{,}08 \]

\[ 125\%=1{,}25 \]

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить её на \(100\%\):

\[ 0{,}6=60\% \]

\[ 0{,}045=4{,}5\% \]

3. Как найти процент от числа

Чтобы найти \(p\%\) от числа \(a\), используем формулу:

\[ a\cdot \frac{p}{100} \]

Пример

Найдём \(15\%\) от \(240\):

\[ 240\cdot \frac{15}{100}=240\cdot 0{,}15=36 \]

Ответ: \(36\).

Проверка:

\[ \frac{36}{240}\cdot 100\%=15\% \]

Значит, ответ верный.

4. Как найти число по его проценту

Если известно, что некоторое число \(b\) составляет \(p\%\) от целого, то целое находится так:

\[ b:\frac{p}{100} \]

или

\[ b\cdot \frac{100}{p} \]

Пример

\(42\) — это \(30\%\) некоторого числа. Найдём всё число:

\[ 42:0{,}3=140 \]

Ответ: \(140\).

Проверка:

\[ 140\cdot 30\%=140\cdot 0{,}3=42 \]

5. Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого

Чтобы узнать, сколько процентов число \(b\) составляет от числа \(a\), нужно:

\[ \frac{b}{a}\cdot 100\% \]

Пример

Сколько процентов составляет \(18\) от \(60\)?

\[ \frac{18}{60}\cdot 100\%=0{,}3\cdot 100\%=30\% \]

Ответ: \(30\%\).

Здесь \(60\) — это целое, или \(100\%\).

6. Увеличение числа на несколько процентов

Если число увеличивают на \(p\%\), то к нему добавляют \(p\%\) от исходного числа:

\[ a\left(1+\frac{p}{100}\right) \]

Пример

Цена была \(800\) рублей. Её увеличили на \(12\%\):

\[ 800\left(1+\frac{12}{100}\right) =800\cdot 1{,}12 =896 \]

Новая цена — \(896\) рублей.

Можно решить в два действия:

\[ 800\cdot 0{,}12=96 \]

\[ 800+96=896 \]

7. Уменьшение числа на несколько процентов

Если число уменьшают на \(p\%\), то из него вычитают \(p\%\) от исходного числа:

\[ a\left(1-\frac{p}{100}\right) \]

Пример

Цена \(800\) рублей уменьшилась на \(12\%\):

\[ 800\left(1-\frac{12}{100}\right) =800\cdot 0{,}88 =704 \]

Новая цена — \(704\) рубля.

8. Важное различие

Увеличить на \(20\%\)

Это значит умножить на:

\[ 1+0{,}2=1{,}2 \]

Оставить \(20\%\) от числа

Это значит умножить на:

\[ 0{,}2 \]

Например, если было \(500\):

• увеличить на \(20\%\):

\[ 500\cdot 1{,}2=600 \]

• оставить \(20\%\):

\[ 500\cdot 0{,}2=100 \]

Это разные действия.

9. Последовательные изменения процентов

Если число сначала изменили на один процент, а потом на другой, проценты применяются по очереди, а не просто складываются.

Пример

Цена \(1000\) рублей. Сначала скидка \(20\%\), затем ещё скидка \(10\%\):

\[ 1000\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=720 \]

Цена стала \(720\) рублей.

Общая скидка:

\[ 1000-720=280 \]

\[ \frac{280}{1000}\cdot 100\%=28\% \]

Итак, две скидки \(20\%\) и \(10\%\) дали общую скидку \(28\%\), а не \(30\%\).

10. Процентные пункты

Не следует путать проценты и процентные пункты.

Например, показатель вырос с \(40\%\) до \(45\%\).

• увеличение на 5 процентных пунктов:

\[ 45\%-40\%=5\% \]

• относительное увеличение:

\[ \frac{45-40}{40}\cdot 100\%=12{,}5\% \]

Значит, показатель увеличился на \(5\) процентных пунктов, или на \(12{,}5\%\) относительно первоначального значения.

Универсальный алгоритм

При решении задачи на проценты:

1. Определи, какое число является целым, то есть \(100\%\).
2. Пойми, что нужно сделать:
   • найти процент от числа;
   • найти целое по проценту;
   • узнать, сколько процентов одно число составляет от другого;
   • увеличить или уменьшить число.
3. Переведи проценты в дробь: \(p\%=p/100\).
4. Подставь данные в подходящую формулу.
5. Проверь ответ обратным действием.

Основные формулы

\[ p\%\text{ от }a=a\cdot\frac{p}{100} \]

\[ \text{целое}=\frac{\text{часть}}{p/100} \]

\[ \text{процент}=\frac{\text{часть}}{\text{целое}}\cdot100\% \]

\[ \text{увеличение}=a\left(1+\frac{p}{100}\right) \]

\[ \text{уменьшение}=a\left(1-\frac{p}{100}\right) \]

Главная идея: процент всегда показывает, какую часть от целого берут, если всё целое разделить на 100 равных частей.