17 и 19

Краткий ответ

• 17) \(P_{MNQP}=26\text{ см}\).
• 19) Прямые \(AD\) и \(DC\) обязательно пересекают плоскость \(\alpha\). Из диагоналей \(BD\) пересекает \(\alpha\) обязательно, а \(AC\) — не обязательно.

17

По теореме о средней линии треугольника:

\[ MN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}, \]

\[ NQ=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}, \]

\[ QP=\frac{BC}{2}=7\text{ см}, \]

\[ PM=\frac{AD}{2}=6\text{ см}. \]

Тогда периметр:

\[ P_{MNQP}=MN+NQ+QP+PM \]

\[ P_{MNQP}=7+6+7+6=26\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{26\text{ см}}\).

19

Пусть плоскость параллелограмма \(ABCD\) — это \(\beta\), а

\[ M=AB\cap\alpha,\qquad N=BC\cap\alpha. \]

Тогда прямая \(MN\) является линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).

Так как

\[ AD\parallel BC,\qquad DC\parallel AB, \]

то прямые \(AD\) и \(DC\) также пересекают плоскость \(\alpha\). Иначе они были бы параллельны \(\alpha\), а тогда параллельные им прямые \(BC\) и \(AB\) не могли бы пересекать \(\alpha\).

Теперь рассмотрим диагонали.

• Прямая \(BD\) пересекает \(MN\), а значит, пересекает и плоскость \(\alpha\).
• Прямая \(AC\) может быть параллельна \(MN\). Например, если \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), то \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому

\[ MN\parallel AC. \]

Так как \(MN\subset\alpha\), в этом случае \(AC\parallel\alpha\) и не пересекает её.

Итог: \(BD\) пересекает \(\alpha\) обязательно, а \(AC\) — не обязательно.