реши и сделай к ним систему
Анализ знака неравенства
Я рассматриваю исходный знак неравенства. При значениях меньше -3.5 числитель отрицателен, поскольку и (x-1), и (3x+10) отрицательны, поэтому частное отрицательно, что удовлетворяет неравенству.
На промежутке от -3.5 до -10/3 числитель становится положительным, тогда как знаменатель остаётся отрицательным, в результате чего частное положительно и не удовлетворяет требованию. Наконец, на промежутке от -10/3 до 1 числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому частное отрицательно, что удовлетворяет неравенству.
Исследование промежутков для S1
Я анализирую поведение произведения. При x меньше 5 результат положителен, за исключением x=2, где он равен нулю. Поскольку ноль при x=2 включается, а при x=5 он также равен нулю из-за (5-x), это тоже учитывается. При x больше 5 результат становится отрицательным. Похоже, что промежутки для S1 задаются как (-∞, 5]. Я хочу убедиться, что включены все соответствующие точки!
Рассмотрение интерпретации формулировки
Я рассматриваю фразу «реши и сделай к ним систему», которая может означать «реши и составь для них систему». В русской математике «решить систему неравенств» — распространённое выражение. Возможно, ученик называет список из пяти заданий «системой», но каждый пронумерованный пункт, вероятно, представляет отдельное задание. Мне нужно уточнить это, чтобы оказать точную помощь.
Решение неравенств и уравнений
Я решаю неравенство \(3(x+3)(2x+5) \leq 0\); критические точки получаются -3 и -5/2. Анализ знаков показывает, что промежутки включаются.
Теперь я перехожу к уравнению \((12+20x)(7-70x) = 140\) и пытаюсь разложить его на множители. Получаю \(12+20x\) как \(4(3+5x)\) и \(20(x+3/5)\). Для \(7-70x\) разложение имеет вид \(7(1-10x)\). Всё это выглядит верно, поэтому я продолжу решение!
Краткий ответ
\(\boxed{x\in(-\infty;5]}\)
\(\boxed{x\in\left[-3;-\frac52\right]}\)
\(\boxed{x\in\left(-\frac35;\frac1{10}\right)}\)
\(\boxed{x\in\left(\frac15;4\right]}\)
\(\boxed{x\in\left(-\infty;-\frac72\right)\cup\left[-\frac{10}{3};1\right)\cup(1;+\infty)}\)
Решение методом интервалов
1. \((2x-4)^2(5-x)\ge 0\)
Нули множителей:
\[ 2x-4=0\Rightarrow x=2,\qquad 5-x=0\Rightarrow x=5. \]
Квадрат \((2x-4)^2\) всегда неотрицателен, поэтому знак произведения определяется множителем \(5-x\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;2)&2&(2;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline (2x-4)^2(5-x)&+&0&+&0&- \end{array} \]
Нужно взять знаки \(+\) и \(0\):
\[ \boxed{x\in(-\infty;5]}. \]
2. \((-3x-9)(-5-2x)\le 0\)
Разложим на множители:
\[ (-3x-9)(-5-2x)=3(x+3)(2x+5). \]
Критические точки:
\[ x=-3,\qquad x=-\frac52. \]
Старший коэффициент положительный, поэтому произведение отрицательно между корнями:
\[ \boxed{x\in\left[-3;-\frac52\right]}. \]
Концы включаются, так как неравенство нестрогое.
3. \((12+20x)(7-70x)>0\)
Вынесем множители:
\[ 12+20x=20\left(x+\frac35\right), \]
\[ 7-70x=70\left(\frac1{10}-x\right). \]
Критические точки:
\[ x=-\frac35,\qquad x=\frac1{10}. \]
Произведение положительно между этими точками:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac35;\frac1{10}\right)}. \]
Концы не включаются, потому что стоит знак \(>\).
4. \(\displaystyle \frac{4x-16}{1-5x}\ge 0\)
Разложим числитель:
\[ 4x-16=4(x-4). \]
Критические точки:
\[ x=4 \quad\text{— нуль числителя}, \]
\[ 1-5x=0\Rightarrow x=\frac15 \quad\text{— нуль знаменателя}. \]
Точка \(x=\frac15\) исключается из ОДЗ.
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;\frac15)&\frac15&(\frac15;4)&4&(4;+\infty)\\ \hline \dfrac{4x-16}{1-5x}&-&\text{не сущ.}&+&0&- \end{array} \]
Берём положительные значения и ноль:
\[ \boxed{x\in\left(\frac15;4\right]}. \]
5. \(\displaystyle \frac{3x^2+7x-10}{-2x^2-5x+7}\le 0\)
Разложим числитель и знаменатель:
\[ 3x^2+7x-10=(x-1)(3x+10), \]
\[ -2x^2-5x+7=-(x-1)(2x+7). \]
Получаем:
\[ \frac{(x-1)(3x+10)}{-(x-1)(2x+7)} = -\frac{3x+10}{2x+7}. \]
Но точки
\[ x=1,\qquad x=-\frac72 \]
нельзя включать, так как в исходной дроби знаменатель равен нулю.
Критические точки:
\[ -\frac72,\qquad -\frac{10}{3},\qquad 1. \]
Таблица знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x& (-\infty;-\frac72)& -\frac72& (-\frac72;-\frac{10}{3})& -\frac{10}{3}& (-\frac{10}{3};1)& 1& (1;+\infty) \\ \hline \dfrac{3x^2+7x-10}{-2x^2-5x+7} & -& \text{не сущ.}& +& 0& -& \text{не сущ.}& - \end{array} \]
Берём отрицательные значения и ноль:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac72\right) \cup\left[-\frac{10}{3};1\right) \cup(1;+\infty)}. \]
Важно: \(x=1\) не входит в ответ, хотя множитель \((x-1)\) сокращается, потому что в исходной дроби знаменатель при \(x=1\) равен нулю.
Если все пять неравенств нужно объединить в одну систему
Тогда её решение — пересечение всех множеств. Уже
\[ \left[-3;-\frac52\right]\cap \left(-\frac35;\frac1{10}\right)=\varnothing. \]
Следовательно, общая система решений не имеет:
\[ \boxed{\varnothing}. \]
