Реши эти два задания, писав "дано" "решение" и объясни как решаеться

Краткий ответ

• 1026: \(AB=6\sqrt6\) см, \(S_{ABC}=18(3+\sqrt3)\) см².
• 1027: \(AB=3(\sqrt6-\sqrt2)\) м, \(BC=6(\sqrt3-1)\) м, \(AC=6\) м.

1026

Дано

\[ AC=12\text{ см},\qquad \angle A=75^\circ,\qquad \angle C=60^\circ. \]

Найти: \(AB\) и \(S_{ABC}\).

Решение

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ. \]

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{12}{\sin45^\circ}. \]

\[ AB=12\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =12\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =6\sqrt6\text{ см}. \]

Площадь треугольника найдём по формуле:

\[ S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A. \]

\[ S=\frac12\cdot6\sqrt6\cdot12\cdot\sin75^\circ. \]

Так как

\[ \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \]

то

\[ S=36\sqrt6\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =54+18\sqrt3 =18(3+\sqrt3)\text{ см}^2. \]

Проверка: \(AB\approx14{,}7\) см, а \(AB>AC\), потому что угол \(C=60^\circ\) больше угла \(B=45^\circ\).

---

1027

Дано

\[ \angle A=45^\circ,\qquad \angle C=30^\circ,\qquad AD=3\text{ м}, \]

где \(AD\) — высота к стороне \(BC\).

Найти: \(AB\), \(BC\), \(AC\).

Решение

Найдём угол \(B\):

\[ \angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ. \]

Так как угол \(B\) тупой, высота \(AD\) падает на продолжение стороны \(BC\) за точку \(B\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\).

\[ \sin30^\circ=\frac{AD}{AC}. \]

\[ AC=\frac{AD}{\sin30^\circ} =\frac{3}{\frac12}=6\text{ м}. \]

Теперь найдём \(AB\). В прямоугольном треугольнике \(ABD\):

\[ \angle ABD=180^\circ-105^\circ=75^\circ. \]

\[ \sin75^\circ=\frac{AD}{AB}. \]

\[ AB=\frac{3}{\sin75^\circ} =\frac{3}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}} =3(\sqrt6-\sqrt2)\text{ м}. \]

Чтобы найти \(BC\), найдём \(CD\) и \(BD\).

\[ \tan30^\circ=\frac{AD}{CD}, \]

\[ CD=\frac{3}{\tan30^\circ}=3\sqrt3\text{ м}. \]

Также

\[ \tan75^\circ=\frac{AD}{BD}, \]

\[ BD=\frac{3}{\tan75^\circ} =\frac{3}{2+\sqrt3} =3(2-\sqrt3)\text{ м}. \]

Поскольку \(CD=BC+BD\), получаем:

\[ BC=CD-BD. \]

\[ BC=3\sqrt3-3(2-\sqrt3) =6\sqrt3-6 =6(\sqrt3-1)\text{ м}. \]

Проверка высоты:

\[ AC\sin30^\circ=6\cdot\frac12=3\text{ м}, \]

что совпадает с \(AD\).