Решить задачи

Краткие ответы

1. \(\angle AOD=72^\circ\).
2. Углы ромба: \(20^\circ,\ 160^\circ,\ 20^\circ,\ 160^\circ\).
3. \(BC=AD=13\) см, \(CD=12\) см.
4. \(P=34\) см, если основания трапеции — \(AD\parallel BC\).

Решение

1. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам и равны, поэтому
\[ AO=BO. \] Треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle BAO=\angle ABO=36^\circ. \] Тогда \[ \angle AOB=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ. \] Так как \(B,O,D\) лежат на одной прямой, углы \(\angle AOB\) и \(\angle AOD\) смежные: \[ \angle AOD=180^\circ-108^\circ=72^\circ. \]

Проверка: \(108^\circ+72^\circ=180^\circ\).

2. В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-20^\circ=160^\circ. \] Ответ: \[ 20^\circ,\ 160^\circ,\ 20^\circ,\ 160^\circ. \]

3. Периметр параллелограмма: \[ P=2(AB+BC). \] Подставим данные: \[ 50=2(12+BC), \] \[ 25=12+BC, \] \[ BC=13\text{ см}. \] В параллелограмме противоположные стороны равны: \[ AD=BC=13\text{ см},\qquad CD=AB=12\text{ см}. \]

4. При стандартном обозначении \(AD\parallel BC\) стороны \(AB\) и \(CD\) — равные боковые стороны: \[ AB=CD=6\text{ см}. \]

Проекция каждой боковой стороны на основание равна: \[ 6\cos60^\circ=6\cdot\frac12=3\text{ см}. \] Поэтому разность оснований: \[ 3+3=6\text{ см}. \] Так как \(BC=8\) см, то \[ AD=8+6=14\text{ см}. \] Периметр: \[ P=AB+BC+CD+AD=6+8+6+14=34\text{ см}. \]

Проверка: \(6+8+6+14=34\) см.

На фото в №4 не указано, какие стороны параллельны, поэтому для окончательной проверки нужна эта информация.