Реши номера 409, 412

Краткий ответ

• 409: ромб с одним прямым углом является квадратом.
• 412: периметр квадрата равен \(\boxed{24\text{ см}}\).

409

Пусть дан ромб \(ABCD\), причём \(\angle A=90^\circ\).

Ромб является параллелограммом, поэтому соседние углы в нём в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle B=180^\circ-90^\circ=90^\circ. \]

Противоположные углы параллелограмма равны, значит:

\[ \angle C=\angle A=90^\circ,\qquad \angle D=\angle B=90^\circ. \]

Все углы ромба прямые, следовательно, ромб является прямоугольником. Но у ромба все стороны равны, поэтому это квадрат.

412

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный и прямоугольный, его катеты равны:

\[ AC=BC=12\text{ см}. \]

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Разместим катеты вдоль координатных осей:

\[ C=(0,0),\quad A=(12,0),\quad B=(0,12). \]

Тогда противоположная вершина квадрата \(E\) имеет координаты:

\[ E=(a,a). \]

Гипотенуза \(AB\) соединяет точки \((12,0)\) и \((0,12)\), поэтому её уравнение:

\[ x+y=12. \]

Так как вершина \(E\) лежит на гипотенузе:

\[ a+a=12, \]

\[ 2a=12,\qquad a=6\text{ см}. \]

Периметр квадрата:

\[ P=4a=4\cdot6=\boxed{24\text{ см}}. \]

Проверка: вершина \(E=(6,6)\), и \(6+6=12\), значит, она действительно лежит на гипотенузе.