Реши
Краткие ответы
- \(\displaystyle \frac75\)
- \(0\)
- \(27\)
- \(x=5\)
- \(\displaystyle x=-\frac52\)
- \(x=9\)
- \(81\)
- а) \(\displaystyle x=\frac\pi2+\pi k\) или \(\displaystyle x=-\frac\pi3+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
б) \(\displaystyle -\frac{7\pi}{2},\ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{5\pi}{2}\).
Решение
1
\[ 35^{-4,7}\cdot 7^{5,7}:5^{-3,7} \]
Так как \(35=5\cdot7\), а деление на \(5^{-3,7}\) равносильно умножению на \(5^{3,7}\):
\[ (5\cdot7)^{-4,7}\cdot7^{5,7}\cdot5^{3,7} \]
\[ =5^{-4,7+3,7}\cdot7^{-4,7+5,7} =5^{-1}\cdot7=\frac75. \]
2
\[ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt2}-\sqrt{200}\cdot\sqrt{0,32} \]
\[ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{128}{2}}=\sqrt{64}=8, \]
\[ \sqrt{200}\cdot\sqrt{0,32} =\sqrt{200\cdot0,32} =\sqrt{64}=8. \]
Следовательно,
\[ 8-8=0. \]
3
\[ 5^{2\log_5 3}\cdot\log_2 8 \]
\[ 5^{2\log_5 3} =\left(5^{\log_5 3}\right)^2=3^2=9, \]
\[ \log_2 8=3. \]
Тогда
\[ 9\cdot3=27. \]
4
\[ 9^{x-4}+2\cdot9^{x-3}=171 \]
Представим \(9^{x-3}=9\cdot9^{x-4}\):
\[ 9^{x-4}+18\cdot9^{x-4}=171, \]
\[ 19\cdot9^{x-4}=171, \]
\[ 9^{x-4}=9=9^1. \]
Значит,
\[ x-4=1,\qquad \boxed{x=5}. \]
Проверка:
\[ 9^{1}+2\cdot9^2=9+162=171. \]
5
ОДЗ:
\[ x+4>0,\quad x+3>0 \quad\Rightarrow\quad x>-3. \]
\[ \ln(x+4)-\ln(x+3)=\ln3 \]
\[ \ln\frac{x+4}{x+3}=\ln3. \]
Следовательно,
\[ \frac{x+4}{x+3}=3. \]
\[ x+4=3x+9, \]
\[ -5=2x,\qquad \boxed{x=-\frac52}. \]
Число \(-\frac52>-3\), поэтому оно подходит.
6
\[ \sqrt{x}+1=x-5 \]
Пусть
\[ t=\sqrt{x},\qquad t\geq0,\qquad x=t^2. \]
Тогда
\[ t+1=t^2-5, \]
\[ t^2-t-6=0, \]
\[ (t-3)(t+2)=0. \]
Так как \(t\geq0\), берём \(t=3\). Поэтому
\[ x=t^2=9. \]
Проверка:
\[ \sqrt9+1=4,\qquad 9-5=4. \]
7
\[ 27\sqrt6\cdot\tg\frac\pi3\cdot\sin\frac{3\pi}{4} \]
Используем:
\[ \tg\frac\pi3=\sqrt3,\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Тогда
\[ 27\sqrt6\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{27\sqrt{36}}2 =\frac{27\cdot6}{2} =\boxed{81}. \]
8а
\[ 2\sqrt3\sin^2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)+\sin2x=0. \]
Так как
\[ \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos x, \]
то
\[ 2\sqrt3\cos^2x+\sin2x=0. \]
Поскольку \(\sin2x=2\sin x\cos x\), получаем:
\[ 2\sqrt3\cos^2x+2\sin x\cos x=0, \]
\[ 2\cos x(\sqrt3\cos x+\sin x)=0. \]
Отсюда:
\(\cos x=0\), значит \[ x=\frac\pi2+\pi k; \]
\(\sqrt3\cos x+\sin x=0\), значит \[ \tg x=-\sqrt3, \qquad x=-\frac\pi3+\pi k. \]
Итак,
\[ \boxed{x=\frac\pi2+\pi k\quad\text{или}\quad x=-\frac\pi3+\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]
8б
Найдём корни на отрезке
\[ \left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]. \]
Из \(x=\frac\pi2+\pi k\):
\[ k=-4\Rightarrow x=-\frac{7\pi}{2}, \qquad k=-3\Rightarrow x=-\frac{5\pi}{2}. \]
Из \(x=-\frac\pi3+\pi k\):
\[ k=-3\Rightarrow x=-\frac{10\pi}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left\{-\frac{7\pi}{2},-\frac{10\pi}{3},-\frac{5\pi}{2}\right\}}. \]
