112
Краткий ответ: стороны прямоугольника должны быть по \(10\) см. Максимальная площадь — \(100\ \text{см}^2\).
Пусть одна сторона равна \(x\) см, тогда другая:
\[ 2(x+y)=40 \quad\Rightarrow\quad x+y=20, \]
\[ y=20-x. \]
Площадь:
\[ S=xy=x(20-x)=-x^2+20x. \]
Выделим полный квадрат:
\[ S=-(x-10)^2+100. \]
Так как \((x-10)^2\ge 0\), площадь будет наибольшей, когда
\[ x=10. \]
Тогда и
\[ y=20-10=10\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(10+10)=40\text{ см},\qquad S=10\cdot10=100\text{ см}^2. \]
Следовательно, из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Обсуждение
4 сообщенияразвернуть все понятно
Разберём задачу подробно.
Условие: нужно найти размеры прямоугольника с периметром \(40\) см, у которого площадь наибольшая.
1. Обозначим стороны
Пусть длина прямоугольника — \(x\) см, а ширина — \(y\) см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
\[ P=2(x+y). \]
По условию периметр равен \(40\) см:
\[ 2(x+y)=40. \]
Разделим обе части на \(2\):
\[ x+y=20. \]
Значит, сумма двух сторон должна быть равна \(20\) см.
2. Выразим одну сторону
Из равенства
\[ x+y=20 \]
выразим \(y\):
\[ y=20-x. \]
Например, если \(x=8\) см, то \(y=12\) см. Их сумма действительно равна \(20\).
3. Запишем формулу площади
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
\[ S=xy. \]
Подставим вместо \(y\) выражение \(20-x\):
\[ S=x(20-x). \]
Раскроем скобки:
\[ S=20x-x^2. \]
Или:
\[ S=-x^2+20x. \]
4. Найдём наибольшее значение площади
Преобразуем выражение:
\[ S=-x^2+20x. \]
Выделим полный квадрат:
\[ S=-(x^2-20x). \]
Добавим и вычтем \(100\):
\[ S=-(x^2-20x+100)+100. \]
Так как
\[ x^2-20x+100=(x-10)^2, \]
получаем:
\[ S=-(x-10)^2+100. \]
Квадрат любого числа неотрицателен:
\[ (x-10)^2\ge 0. \]
Значит,
\[ -(x-10)^2\le 0. \]
Следовательно, площадь \(S\) не может быть больше \(100\):
\[ S\le 100. \]
Наибольшая площадь будет тогда, когда
\[ (x-10)^2=0. \]
Это возможно при
\[ x-10=0, \]
то есть
\[ x=10\text{ см}. \]
Найдём вторую сторону:
\[ y=20-10=10\text{ см}. \]
5. Ответ
Стороны прямоугольника должны быть равны:
\[ \boxed{10\text{ см и }10\text{ см}}. \]
Такой прямоугольник является квадратом. Его максимальная площадь:
\[ S=10\cdot10=100\text{ см}^2. \]
Ответ:
\[ \boxed{S_{\max}=100\text{ см}^2} \]
при сторонах \(10\) см и \(10\) см.
а почему когда ты отнял там получается …+100)+100
Потому что мы добавили и вычли одно и то же число \(100\), поэтому значение выражения не изменилось:
\[ S=-x^2+20x=-(x^2-20x). \]
Чтобы получить квадрат \((x-10)^2\), внутри скобок нужно добавить \(100\):
\[ x^2-20x+100=(x-10)^2. \]
Но чтобы равенство сохранилось, одновременно вычитаем \(100\):
\[ S=-\bigl(x^2-20x+100-100\bigr). \]
Раскрываем скобки:
\[ S=-(x^2-20x+100)+100. \]
Почему в конце \(+100\)? Перед скобками стоит минус:
\[ -(\ldots-100)=-(\ldots)+100. \]
Проверка:
\[ -(x^2-20x+100)+100 =-x^2+20x-100+100 =-x^2+20x. \]
То есть это то же самое выражение, просто преобразованное в удобный вид:
\[ S=-(x-10)^2+100. \]
