ответ
Критерий: \(F\) является первообразной для \(f\), если на указанном промежутке выполняется \(F'(x)=f(x)\).
1. Доказать, что \(F\) — первообразная \(f\)
а)
\[
F'(x)=(x^5)'=5x^4=f(x).
\]
б)
\[
F'(x)=(x^{-3})'=-3x^{-4}=f(x).
\]
в)
\[
F'(x)=\left(\frac17x^7\right)'=\frac17\cdot7x^6=x^6=f(x).
\]
г)
\[
F'(x)=\left(-\frac16x^{-6}\right)'
=-\frac16\cdot(-6)x^{-7}=x^{-7}=f(x).
\]
Ответ: во всех четырёх пунктах функция \(F\) является первообразной функции \(f\).
2. Является ли \(F\) первообразной для \(f\)?
а)
\[
F'(x)=(3-\sin x)'=-\cos x\ne\cos x.
\]
Нет.
б)
\[
F'(x)=(5-x^4)'=-4x^3=f(x).
\]
Да.
в)
\[
F'(x)=(\cos x-4)'=-\sin x=f(x).
\]
Да.
г)
\[
F'(x)=(x^{-2}+2)'=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}
\ne\frac{1}{2x^3}.
\]
Нет.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
3. Найти одну из первообразных на \(\mathbb R\)
Можно взять постоянную интегрирования \(C=0\):
а) Если \(f(x)=3{,}5\), то
\[
F(x)=3{,}5x.
\]
б) Если \(f(x)=\cos x\), то
\[
F(x)=\sin x.
\]
в) Если \(f(x)=2x\), то
\[
F(x)=x^2.
\]
г) Если \(f(x)=\sin x\), то
\[
F(x)=-\cos x.
\]
Проверка выполняется обратным дифференцированием: производная найденной функции должна совпасть с \(f(x)\).
Обсуждение
2 сообщенияОтвет
1. Доказать, что \(F\) — первообразная функции \(f\)
Во всех случаях \(F'(x)=f(x)\):
а) \((x^5)'=5x^4\);
б) \((x^{-3})'=-3x^{-4}\);
в) \(\left(\frac17x^7\right)'=x^6\);
г) \(\left(-\frac16x^{-6}\right)'=x^{-7}\).
Ответ: все функции \(F\) являются первообразными.
2. Является ли \(F\) первообразной?
а) Нет, так как
\[
(3-\sin x)'=-\cos x\ne\cos x.
\]
б) Да, так как
\[
(5-x^4)'=-4x^3.
\]
в) Да, так как
\[
(\cos x-4)'=-\sin x.
\]
г) Нет, так как
\[
(x^{-2}+2)'=-\frac{2}{x^3}\ne\frac{1}{2x^3}.
\]
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
3. Одна из первообразных
а) \(f(x)=3{,}5\):
\[
F(x)=3{,}5x.
\]
б) \(f(x)=\cos x\):
\[
F(x)=\sin x.
\]
в) \(f(x)=2x\):
\[
F(x)=x^2.
\]
г) \(f(x)=\sin x\):
\[
F(x)=-\cos x.
\]
