(x+5)⁴+(x+5)²-12=0

Ответ:
\[ x=-5-\sqrt3 \quad \text{или} \quad x=-5+\sqrt3. \]

Решение

В уравнении встречаются только чётные степени выражения \(x+5\). Сделаем замену:

\[ t=(x+5)^2,\qquad t\ge 0. \]

Тогда:

\[ (x+5)^4=t^2, \]

и уравнение примет вид:

\[ t^2+t-12=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t+4)(t-3)=0. \]

Отсюда:

\[ t=-4 \quad \text{или} \quad t=3. \]

Так как \(t=(x+5)^2\ge0\), значение \(t=-4\) не подходит. Остаётся:

\[ (x+5)^2=3. \]

Извлекаем корень:

\[ x+5=\pm\sqrt3, \]

поэтому

\[ \boxed{x=-5\pm\sqrt3}. \]

Проверка

При найденных значениях \((x+5)^2=3\), значит \((x+5)^4=9\):

\[ 9+3-12=0. \]

Ответ верный. Главное в подобных уравнениях — заменить повторяющееся выражение, а затем учесть ограничение \(t\ge0\).