2.58

Краткий ответ:

• а) \(\operatorname{НОД}(36,48)=12\);
• б) \(\operatorname{НОД}(84,96)=12\);
• в) \(\operatorname{НОД}(45,60)=15\);
• г) \(\operatorname{НОД}(72,90)=18\).

Решение

Чтобы найти НОД, разложим числа на простые множители и перемножим общие множители.

а)
\[ 36=2\cdot2\cdot3\cdot3,\qquad 48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3. \]

Общие множители: \(2\cdot2\cdot3\).
\[ \operatorname{НОД}(36,48)=2\cdot2\cdot3=\boxed{12}. \]

б)
\[ 84=2\cdot2\cdot3\cdot7,\qquad 96=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3. \]

Общие множители: \(2\cdot2\cdot3\).
\[ \operatorname{НОД}(84,96)=\boxed{12}. \]

в)
\[ 45=3\cdot3\cdot5,\qquad 60=2\cdot2\cdot3\cdot5. \]

Общие множители: \(3\cdot5\).
\[ \operatorname{НОД}(45,60)=\boxed{15}. \]

г)
\[ 72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3,\qquad 90=2\cdot3\cdot3\cdot5. \]

Общие множители: \(2\cdot3\cdot3\).
\[ \operatorname{НОД}(72,90)=\boxed{18}. \]

Проверка:

\[ 36:12=3,\quad48:12=4; \] \[ 84:12=7,\quad96:12=8; \] \[ 45:15=3,\quad60:15=4; \] \[ 72:18=4,\quad90:18=5. \]

Принцип: для НОД берём только общие простые множители, причём каждый — столько раз, сколько он встречается в меньшем количестве.