Сделай конспект
Краткий ответ: в прямоугольном треугольнике синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла — это отношения его сторон.
Конспект: тригонометрические функции
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C=90^\circ\), а угол \(A\) — острый.
1. Названия сторон
- \(AB\) — гипотенуза, сторона напротив прямого угла;
- \(BC\) — противолежащий катет для угла \(A\);
- \(AC\) — прилежащий катет для угла \(A\).
2. Основные определения
\[ \sin A=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} =\frac{BC}{AB} \]
\[ \cos A=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} =\frac{AC}{AB} \]
\[ \operatorname{tg} A= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} =\frac{BC}{AC} \]
\[ \operatorname{ctg} A= \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} =\frac{AC}{BC} \]
3. Как решать похожие задания
- Найти прямой угол.
- Определить гипотенузу — она лежит напротив прямого угла.
- Относительно заданного острого угла определить:
- противолежащий катет;
- прилежащий катет.
- Выбрать нужную формулу и подставить длины сторон.
- Сократить дробь и проверить результат.
4. Пример
Если \(AC=BC=a\), то треугольник равнобедренный прямоугольный, а
\[ AB=a\sqrt2. \]
Для угла \(A=45^\circ\):
\[ \sin A=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}, \]
\[ \cos A=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}, \]
\[ \operatorname{tg} A=\frac{a}{a}=1, \qquad \operatorname{ctg} A=\frac{a}{a}=1. \]
5. Проверка
Полезные соотношения:
\[ \sin^2 A+\cos^2 A=1, \]
\[ \operatorname{tg} A=\frac{\sin A}{\cos A}, \qquad \operatorname{ctg} A=\frac{\cos A}{\sin A}. \]
Для примера:
\[ \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac12+\frac12=1. \]
Синус, косинус, тангенс и котангенс применяются в математике, инженерии, геодезии и науке для вычисления расстояний, высот и углов.
