по алгебре решить а)m²+6m-19=0 б)x²-34x+289=0 в)3x²+32x+80=0

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle m_1=-3+2\sqrt7,\quad m_2=-3-2\sqrt7\)

б) \(\displaystyle x=17\)

в) \(\displaystyle x_1=-4,\quad x_2=-\frac{20}{3}\)

Решение

Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) используем дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

а)

\[ m^2+6m-19=0 \]

\[ D=6^2-4\cdot1\cdot(-19)=36+76=112=16\cdot7 \]

\[ \sqrt D=4\sqrt7 \]

\[ m=\frac{-6\pm4\sqrt7}{2}=-3\pm2\sqrt7. \]

Проверка: сумма корней \(-6\), произведение

\[ (-3+2\sqrt7)(-3-2\sqrt7)=9-28=-19. \]

б)

\[ x^2-34x+289=0 \]

\[ D=(-34)^2-4\cdot1\cdot289=1156-1156=0. \]

Если \(D=0\), уравнение имеет один двойной корень:

\[ x=\frac{-(-34)}{2}=\frac{34}{2}=17. \]

Действительно,

\[ x^2-34x+289=(x-17)^2. \]

в)

\[ 3x^2+32x+80=0 \]

\[ D=32^2-4\cdot3\cdot80=1024-960=64. \]

\[ x=\frac{-32\pm\sqrt{64}}{6} =\frac{-32\pm8}{6}. \]

\[ x_1=\frac{-32+8}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-32-8}{6}=-\frac{20}{3}. \]

Проверка разложением:

\[ 3x^2+32x+80=(3x+20)(x+4). \]