Реши 101 только не по заданию, найди область определения функции
Краткий ответ:
- а) \(D(f)=\mathbb{R}\)
- б) \(D(f)=(-\infty;\tfrac12]\)
- в) \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac32;\tfrac32\right\}\)
- г) \(D(f)=\mathbb{R}\)
Решение
Правила:
- у многочлена область определения — все действительные числа;
- подкоренное выражение должно быть неотрицательным;
- знаменатель дроби не должен равняться нулю.
а)
\[
y=7x^2-6x-1
\]
Это многочлен, поэтому ограничений нет:
\[ D(f)=\mathbb{R}. \]
б)
\[
y=\sqrt{7-14x}
\]
Требуем:
\[ 7-14x\ge 0. \]
\[ -14x\ge -7,\qquad x\le \frac12. \]
Значит,
\[ D(f)=(-\infty;\tfrac12]. \]
в)
\[
y=\frac{2x+3}{9-4x^2}
\]
Знаменатель не равен нулю:
\[ 9-4x^2\ne 0, \]
\[ 4x^2\ne 9,\qquad x\ne\pm\frac32. \]
Следовательно,
\[ D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac32;\frac32\right\}. \]
г)
\[
y=\frac{5x-1}{x^2+16}
\]
Проверим знаменатель:
\[ x^2+16>0 \]
при любом действительном \(x\). Поэтому ограничений нет:
\[ D(f)=\mathbb{R}. \]
Проверка: в пункте б) число \(x=\frac12\) подходит, так как подкоренное выражение равно нулю; в пунктах в) исключены только значения, обращающие знаменатель в ноль.
Обсуждение
2 сообщенияЧто значит R
\(\mathbb{R}\) — это множество всех действительных чисел:
\[ \mathbb{R}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \]
В него входят также дроби и числа вроде \(\sqrt2\) и \(\pi\).
Поэтому запись
\[ D(f)=\mathbb{R} \]
означает: область определения функции — все действительные числа, то есть \(x\) может быть любым числом на числовой прямой.
