Исследовать функцию

Краткий ответ

По графику:

• Область определения: \(\displaystyle D(f)=[-9;9]\).
• Область значений: \(\displaystyle E(f)=[-2;4]\).
• Нули функции:
  \[ x=-8,\;-3,\;0,\;5,\;8. \]
• Функция положительна: \[ [-9;-8)\cup(-8;-3)\cup(0;5)\cup(8;9]. \]
• Функция отрицательна: \[ (-3;0)\cup(5;8). \]
• Возрастает: \[ [-8;-5],\quad [-2;2],\quad [7;9]. \]
• Убывает: \[ [-9;-8],\quad [-5;-2],\quad [2;7]. \]
• Наибольшее значение: \(f(2)=4\).
• Наименьшее значение: \(f(-2)=-2\).

Как это определить

1. Область определения — все \(x\), для которых на графике есть точка: от \(-9\) до \(9\).
2. Область значений — все значения \(y\): от \(-2\) до \(4\).
3. Нули функции — точки пересечения графика с осью \(Ox\):
   \[ -8,\;-3,\;0,\;5,\;8. \]
4. Если график идёт выше оси \(Ox\), то \(f(x)>0\), если ниже — \(f(x)<0\).
5. При движении слева направо график:
   • поднимается — функция возрастает;
   • опускается — функция убывает.
6. Поворотные точки дают экстремумы:
   • максимумы: \((-5;3)\) и \((2;4)\);
   • минимумы: \((-8;0)\), \((-2;-2)\) и \((7;-1)\).

Проверка: самое высокое значение на графике равно \(4\), самое низкое — \(-2\), что совпадает с областью значений.