Номер 36 в и г

Краткий ответ: в обоих случаях точка \(O\) оказывается серединой обеих диагоналей: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] Следовательно, диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся пополам, а значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

в)

По рисунку: \[ BO=OD,\qquad \angle ABD=\angle BDC. \]

Так как \(O\in BD\), то \[ \angle ABO=\angle CDO. \] Эти углы накрест лежащие, поэтому \[ AB\parallel CD. \]

Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\). В них:

• \(BO=OD\) — по условию;
• \(\angle ABO=\angle CDO\);
• \(\angle AOB=\angle COD\) — вертикальные углы.

Следовательно, \[ \triangle AOB=\triangle COD. \] Значит, \[ AO=OC. \]

Получили: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] Диагонали делятся пополам, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.

г)

По рисунку: \[ AO=OC,\qquad \angle DBC=\angle BDA. \]

Так как \(O\in BD\), то \[ \angle OBC=\angle ODA. \] Это накрест лежащие углы, поэтому \[ BC\parallel AD. \]

Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(DOA\). В них:

• \(OC=OA\) — по условию;
• \(\angle OBC=\angle ODA\);
• \(\angle BOC=\angle DOA\) — вертикальные углы.

Следовательно, \[ \triangle BOC=\triangle DOA. \] Отсюда \[ BO=OD. \]

Теперь: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] Диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся пополам, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

Принцип: если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.