1.26 и 1.27
Решение уравнений пошагово
Я решаю уравнение \(5(x-y)=4y\) и преобразую его, чтобы найти \(x\). В результате получаю \(x = (9/5)y\). Затем подставляю это выражение в другое уравнение \(x^2 + 4y² = 181\). После нескольких шагов нахожу, что \(y² = 25\), откуда \(y = ±5\). Подставляя это обратно, получаю значения \(x\), равные \(9\) и \(-9\). Таким образом, решения: \((9, 5)\) и \((-9, -5)\).
Формулировка ответа на русском
Я решаю уравнение \(11y-3=0\). Дискриминант равен \(121+48=169\), что приводит к корням \(y=3\) и \(y=-\frac{1}{4}\), дающим значения \(x\), равные \(2\) и \(-\frac{5}{4}\). Решения: \((2,3)\) и \((-5/4,-1/4)\). Пользователь попросил подробное объяснение на русском языке, поэтому я построю ответ, начав с краткого ответа, затем приведу основные шаги и проверку; также мне нужно добавить следующий запрос на русском языке длиной менее 60 символов.
Составление визуального задания на русском
Я создаю понятное визуальное задание на основе уравнений. Нужно убедиться, что все детали точны. Вопрос «Разобрать похожую систему самостоятельно?» может быть не самым подходящим продолжением, поэтому я оставлю его кратким и состоящим ровно из одной строки. Я организую уравнения следующим образом: \(1) \{ x+2y=13, xy=15\} \) и \(1.27 \{ x^2+3xy-y^2+2x-5y=-64, x-y=-7 \}\), уточняя, что система имеет пары решений. Важно оформить это на русском языке с понятной разметкой Markdown.
Краткий ответ
1.26
\((x;y)=(3;5),\ (10;\frac32)\);
\((x;y)=(6;2),\ (-4;-3)\);
\((x;y)=(9;5),\ (-9;-5)\).
1.27
\((x;y)=(2;9),\ \left(-\frac{10}{3};\frac{11}{3}\right)\);
\((x;y)=(2;3),\ \left(-\frac54;-\frac14\right)\).
Решение
1.26.1
Из первого уравнения выразим \(x\):
\[ x+2y=13 \quad\Rightarrow\quad x=13-2y. \]
Подставим во второе уравнение:
\[ y(13-2y)=15, \]
\[ 2y^2-13y+15=0, \]
\[ (2y-3)(y-5)=0. \]
Отсюда:
\[ y=\frac32 \quad\text{или}\quad y=5. \]
Находим \(x\):
- если \(y=\frac32\), то \(x=13-3=10\);
- если \(y=5\), то \(x=13-10=3\).
Ответ:
\[ \boxed{(10;\frac32),\ (3;5)}. \]
1.26.2
\[ x-2y=2 \quad\Rightarrow\quad x=2+2y. \]
Подставим в \(xy=12\):
\[ (2+2y)y=12, \]
\[ 2y^2+2y-12=0, \]
\[ y^2+y-6=0, \]
\[ (y-2)(y+3)=0. \]
Тогда \(y=2\) или \(y=-3\).
- \(y=2\): \(x=2+4=6\);
- \(y=-3\): \(x=2-6=-4\).
\[ \boxed{(6;2),\ (-4;-3)}. \]
1.26.3
\[ 5(x-y)=4y \]
\[ 5x-5y=4y \quad\Rightarrow\quad 5x=9y, \]
\[ x=\frac{9y}{5}. \]
Подставим во второе уравнение:
\[ \left(\frac{9y}{5}\right)^2+4y^2=181, \]
\[ \frac{81}{25}y^2+\frac{100}{25}y^2=181, \]
\[ \frac{181}{25}y^2=181, \]
\[ y^2=25. \]
Значит,
\[ y=5 \quad\text{или}\quad y=-5. \]
Тогда \(x=9\) или \(x=-9\):
\[ \boxed{(9;5),\ (-9;-5)}. \]
1.27.1
Из второго уравнения:
\[ x-y=-7 \quad\Rightarrow\quad x=y-7. \]
Подставляем в первое:
\[ (y-7)^2+3(y-7)y-y^2+2(y-7)-5y=-64. \]
После упрощения:
\[ 3y^2-38y+35=-64, \]
\[ 3y^2-38y+99=0, \]
\[ (3y-11)(y-9)=0. \]
Следовательно,
\[ y=\frac{11}{3}\quad\text{или}\quad y=9. \]
Находим \(x=y-7\):
- \(y=\frac{11}{3}\): \(x=\frac{11}{3}-7=-\frac{10}{3}\);
- \(y=9\): \(x=2\).
\[ \boxed{(2;9),\ \left(-\frac{10}{3};\frac{11}{3}\right)}. \]
1.27.2
\[ x-y+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=y-1. \]
Подставляем:
\[ (y-1)^2+3y^2-4(y-1)-5y-8=0. \]
Упрощаем:
\[ 4y^2-11y-3=0, \]
\[ (4y+1)(y-3)=0. \]
Отсюда:
\[ y=-\frac14\quad\text{или}\quad y=3. \]
Находим \(x=y-1\):
- \(y=-\frac14\): \(x=-\frac14-1=-\frac54\);
- \(y=3\): \(x=2\).
\[ \boxed{(2;3),\ \left(-\frac54;-\frac14\right)}. \]
Как решать похожие системы
Если одно уравнение линейное, вырази из него одну переменную через другую. Затем подставь это выражение во второе уравнение. Получится квадратное уравнение: нужно найти все его корни, для каждого вычислить вторую переменную и проверить пары в исходной системе.
Проверка: все найденные пары удовлетворяют обоим уравнениям соответствующей системы.
Обсуждение
8 сообщенийБез слов просто решение
\[ 1.26 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} x+2y=13,\\ xy=15 \end{cases} \]
\[ x=13-2y \]
\[ y(13-2y)=15 \]
\[ 2y^2-13y+15=0 \]
\[ (2y-3)(y-5)=0 \]
\[ y=\frac32,\ 5 \]
\[ x=10,\ 3 \]
\[ \boxed{(10;\frac32),\ (3;5)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} x-2y=2,\\ xy=12 \end{cases} \]
\[ x=2+2y \]
\[ (2+2y)y=12 \]
\[ y^2+y-6=0 \]
\[ (y-2)(y+3)=0 \]
\[ y=2,\ -3 \]
\[ x=6,\ -4 \]
\[ \boxed{(6;2),\ (-4;-3)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} 5(x-y)=4y,\\ x^2+4y^2=181 \end{cases} \]
\[ 5x=9y,\qquad x=\frac{9y}{5} \]
\[ \frac{81}{25}y^2+4y^2=181 \]
\[ \frac{181}{25}y^2=181 \]
\[ y^2=25 \]
\[ y=\pm5,\qquad x=\pm9 \]
\[ \boxed{(9;5),\ (-9;-5)} \]
\[ 1.27 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} x^2+3xy-y^2+2x-5y=-64,\\ x-y=-7 \end{cases} \]
\[ x=y-7 \]
\[ (y-7)^2+3(y-7)y-y^2+2(y-7)-5y=-64 \]
\[ 3y^2-38y+99=0 \]
\[ (3y-11)(y-9)=0 \]
\[ y=\frac{11}{3},\ 9 \]
\[ x=-\frac{10}{3},\ 2 \]
\[ \boxed{\left(-\frac{10}{3};\frac{11}{3}\right),\ (2;9)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} x^2+3y^2-4x-5y-8=0,\\ x-y+1=0 \end{cases} \]
\[ x=y-1 \]
\[ (y-1)^2+3y^2-4(y-1)-5y-8=0 \]
\[ 4y^2-11y-3=0 \]
\[ (4y+1)(y-3)=0 \]
\[ y=-\frac14,\ 3 \]
\[ x=-\frac54,\ 2 \]
\[ \boxed{\left(-\frac54;-\frac14\right),\ (2;3)} \]
3 4 и 1.28,1.29
\[ 3)\quad \begin{cases} 4x^2+5y^2=16,\\ x^2+5y^2=25 \end{cases} \]
\[ 3x^2=-9 \]
\[ x^2=-3 \]
\[ \boxed{\varnothing} \]
\[ 4)\quad \begin{cases} x^2+xy=15,\\ y^2+xy=10 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x(x+y)=15,\\ y(x+y)=10 \end{cases} \]
\[ x=3t,\qquad y=2t \]
\[ 3t\cdot5t=15 \]
\[ t^2=1,\qquad t=\pm1 \]
\[ \boxed{(3;2),\ (-3;-2)} \]
\[ 1.28 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} 2x-3y=-18,\\ xy=-12 \end{cases} \]
\[ x=\frac{3y-18}{2} \]
\[ \frac{y(3y-18)}2=-12 \]
\[ y^2-6y+8=0 \]
\[ (y-2)(y-4)=0 \]
\[ \boxed{(-6;2),\ (-3;4)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} 2x^2-3y^2=-19,\\ xy=-6 \end{cases} \]
\[ a=x^2,\qquad b=y^2,\qquad ab=36 \]
\[ 2a-3b=-19,\qquad a=\frac{3b-19}{2} \]
\[ \frac{b(3b-19)}2=36 \]
\[ 3b^2-19b-72=0 \]
\[ (b-9)(3b+8)=0 \]
\[ b=9,\qquad y=\pm3 \]
\[ \boxed{(-2;3),\ (2;-3)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ xy=28 \end{cases} \]
\[ (x+y)^2=121 \]
\[ x+y=\pm11 \]
\[ \boxed{(4;7),\ (7;4),\ (-4;-7),\ (-7;-4)} \]
\[ 1.29 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} y-x=1,\\ x+|y|=1 \end{cases} \]
\[ y=x+1 \]
\[ x+|x+1|=1 \]
\[ x\ge-1:\quad 2x+1=1\quad\Rightarrow\quad (x;y)=(0;1) \]
\[ x<-1:\quad -1=1 \]
\[ \boxed{(0;1)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} |x-1|+y=4,\\ x+y=3 \end{cases} \]
\[ y=3-x \]
\[ |x-1|-x=1 \]
\[ x<1:\quad 1-2x=1\quad\Rightarrow\quad x=0,\ y=3 \]
\[ \boxed{(0;3)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} x^2-3y=-5,\\ 7x+3y=-1 \end{cases} \]
\[ -3y=1+7x \]
\[ x^2+7x+1=-5 \]
\[ x^2+7x+6=0 \]
\[ (x+1)(x+6)=0 \]
\[ \boxed{(-1;2),\ \left(-6;\frac{41}{3}\right)} \]
Ты реши как в начале
Краткий ответ
\[ 3)\quad \boxed{\varnothing} \]
\[ 4)\quad \boxed{(3;2),\ (-3;-2)} \]
\[ 1.28: \]
\[ 1)\quad \boxed{(-6;2),\ (-3;4)} \]
\[ 2)\quad \boxed{(-2;3),\ (2;-3)} \]
\[ 3)\quad \boxed{(4;7),\ (7;4),\ (-4;-7),\ (-7;-4)} \]
\[ 1.29: \]
\[ 1)\quad \boxed{(0;1)} \]
\[ 2)\quad \boxed{(0;3)} \]
\[ 3)\quad \boxed{(-1;2),\ \left(-6;\frac{41}{3}\right)} \]
Решение
3)
\[ \begin{cases} 4x^2+5y^2=16,\\ x^2+5y^2=25 \end{cases} \]
Вычтем второе уравнение из первого:
\[ 3x^2=-9, \]
\[ x^2=-3. \]
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет:
\[ \boxed{\varnothing} \]
4)
\[ \begin{cases} x^2+xy=15,\\ y^2+xy=10 \end{cases} \]
Разложим на множители:
\[ \begin{cases} x(x+y)=15,\\ y(x+y)=10 \end{cases} \]
Делим первое уравнение на второе:
\[ \frac{x}{y}=\frac{15}{10}=\frac32. \]
Пусть
\[ x=3t,\qquad y=2t. \]
Тогда:
\[ 3t(3t+2t)=15, \]
\[ 15t^2=15, \]
\[ t^2=1, \]
\[ t=\pm1. \]
Получаем:
\[ \boxed{(3;2),\ (-3;-2)} \]
1.28
1)
\[ \begin{cases} 2x-3y=-18,\\ xy=-12 \end{cases} \]
Выразим \(x\):
\[ 2x=3y-18, \]
\[ x=\frac{3y-18}{2}. \]
Подставим во второе уравнение:
\[ y\cdot\frac{3y-18}{2}=-12, \]
\[ 3y^2-18y=-24, \]
\[ y^2-6y+8=0, \]
\[ (y-2)(y-4)=0. \]
\[ y=2\quad\text{или}\quad y=4. \]
Если \(y=2\):
\[ x=\frac{6-18}{2}=-6. \]
Если \(y=4\):
\[ x=\frac{12-18}{2}=-3. \]
\[ \boxed{(-6;2),\ (-3;4)} \]
2)
\[ \begin{cases} 2x^2-3y^2=-19,\\ xy=-6 \end{cases} \]
Возведём второе уравнение в квадрат:
\[ x^2y^2=36. \]
Обозначим:
\[ a=x^2,\qquad b=y^2. \]
Тогда:
\[ ab=36, \]
а первое уравнение примет вид:
\[ 2a-3b=-19. \]
Выразим \(a\):
\[ a=\frac{3b-19}{2}. \]
Подставим в \(ab=36\):
\[ b\cdot\frac{3b-19}{2}=36, \]
\[ 3b^2-19b-72=0, \]
\[ (b-9)(3b+8)=0. \]
Так как \(b=y^2\ge0\), получаем:
\[ b=9,\qquad y=\pm3. \]
Тогда:
\[ x^2=\frac{36}{9}=4,\qquad x=\pm2. \]
Поскольку \(xy=-6\), знаки \(x\) и \(y\) должны быть разными:
\[ \boxed{(-2;3),\ (2;-3)} \]
3)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ xy=28 \end{cases} \]
Сложим \(x^2+y^2\) и \(2xy\):
\[ x^2+2xy+y^2=65+56, \]
\[ (x+y)^2=121. \]
\[ x+y=\pm11. \]
Если \(x+y=11\):
\[ x^2-11x+28=0, \]
\[ (x-4)(x-7)=0. \]
Получаем:
\[ (x;y)=(4;7),\ (7;4). \]
Если \(x+y=-11\):
\[ x^2+11x+28=0, \]
\[ (x+4)(x+7)=0. \]
Получаем:
\[ (x;y)=(-4;-7),\ (-7;-4). \]
\[ \boxed{(4;7),\ (7;4),\ (-4;-7),\ (-7;-4)} \]
1.29
1)
\[ \begin{cases} y-x=1,\\ x+|y|=1 \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ y=x+1. \]
Подставим:
\[ x+|x+1|=1. \]
Если \(x+1\ge0\):
\[ x+x+1=1, \]
\[ 2x=0, \]
\[ x=0,\qquad y=1. \]
Если \(x+1<0\):
\[ x-(x+1)=1, \]
\[ -1=1, \]
что невозможно.
\[ \boxed{(0;1)} \]
2)
\[ \begin{cases} |x-1|+y=4,\\ x+y=3 \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ y=3-x. \]
Подставим:
\[ |x-1|+3-x=4, \]
\[ |x-1|-x=1. \]
Если \(x\ge1\):
\[ x-1-x=1, \]
\[ -1=1, \]
что невозможно.
Если \(x<1\):
\[ 1-x-x=1, \]
\[ -2x=0, \]
\[ x=0,\qquad y=3. \]
\[ \boxed{(0;3)} \]
3)
\[ \begin{cases} x^2-3y=-5,\\ 7x+3y=-1 \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ 3y=-1-7x. \]
Подставим в первое:
\[ x^2-(-1-7x)=-5, \]
\[ x^2+7x+1=-5, \]
\[ x^2+7x+6=0, \]
\[ (x+1)(x+6)=0. \]
\[ x=-1\quad\text{или}\quad x=-6. \]
Если \(x=-1\):
\[ 7(-1)+3y=-1, \]
\[ 3y=6, \]
\[ y=2. \]
Если \(x=-6\):
\[ 7(-6)+3y=-1, \]
\[ 3y=41, \]
\[ y=\frac{41}{3}. \]
\[ \boxed{(-1;2),\ \left(-6;\frac{41}{3}\right)} \]
Без слов только решения
\[ 3)\quad \begin{cases} 4x^2+5y^2=16,\\ x^2+5y^2=25 \end{cases} \]
\[ 3x^2=-9 \]
\[ x^2=-3 \]
\[ \boxed{\varnothing} \]
\[ 4)\quad \begin{cases} x^2+xy=15,\\ y^2+xy=10 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x(x+y)=15,\\ y(x+y)=10 \end{cases} \]
\[ \frac{x}{y}=\frac{15}{10}=\frac32 \]
\[ x=3t,\qquad y=2t \]
\[ 3t(5t)=15 \]
\[ t^2=1 \]
\[ t=\pm1 \]
\[ \boxed{(3;2),\ (-3;-2)} \]
\[ 1.28 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} 2x-3y=-18,\\ xy=-12 \end{cases} \]
\[ x=\frac{3y-18}{2} \]
\[ \frac{y(3y-18)}2=-12 \]
\[ 3y^2-18y+24=0 \]
\[ y^2-6y+8=0 \]
\[ (y-2)(y-4)=0 \]
\[ y_1=2,\qquad y_2=4 \]
\[ x_1=-6,\qquad x_2=-3 \]
\[ \boxed{(-6;2),\ (-3;4)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} 2x^2-3y^2=-19,\\ xy=-6 \end{cases} \]
\[ a=x^2,\qquad b=y^2 \]
\[ ab=36,\qquad 2a-3b=-19 \]
\[ a=\frac{3b-19}{2} \]
\[ b\cdot\frac{3b-19}{2}=36 \]
\[ 3b^2-19b-72=0 \]
\[ (b-9)(3b+8)=0 \]
\[ b=9,\qquad a=4 \]
\[ y=\pm3,\qquad x=\pm2 \]
\[ xy=-6 \]
\[ \boxed{(-2;3),\ (2;-3)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} x^2+y^2=65,\\ xy=28 \end{cases} \]
\[ (x+y)^2=65+2\cdot28=121 \]
\[ x+y=\pm11 \]
\[ x+y=11: \]
\[ x^2-11x+28=0 \]
\[ (x-4)(x-7)=0 \]
\[ \boxed{(4;7),\ (7;4)} \]
\[ x+y=-11: \]
\[ x^2+11x+28=0 \]
\[ (x+4)(x+7)=0 \]
\[ \boxed{(-4;-7),\ (-7;-4)} \]
\[ 1.29 \]
\[ 1)\quad \begin{cases} y-x=1,\\ x+|y|=1 \end{cases} \]
\[ y=x+1 \]
\[ x+|x+1|=1 \]
\[ x+1\ge0:\quad x+x+1=1 \]
\[ x=0,\qquad y=1 \]
\[ x+1<0:\quad x-x-1=1 \]
\[ -1=1 \]
\[ \boxed{(0;1)} \]
\[ 2)\quad \begin{cases} |x-1|+y=4,\\ x+y=3 \end{cases} \]
\[ y=3-x \]
\[ |x-1|-x=1 \]
\[ x\ge1:\quad x-1-x=1 \]
\[ -1=1 \]
\[ x<1:\quad 1-x-x=1 \]
\[ x=0,\qquad y=3 \]
\[ \boxed{(0;3)} \]
\[ 3)\quad \begin{cases} x^2-3y=-5,\\ 7x+3y=-1 \end{cases} \]
\[ 3y=-1-7x \]
\[ x^2+7x+1=-5 \]
\[ x^2+7x+6=0 \]
\[ (x+1)(x+6)=0 \]
\[ x_1=-1,\qquad x_2=-6 \]
\[ y_1=2,\qquad y_2=\frac{41}{3} \]
\[ \boxed{(-1;2),\ \left(-6;\frac{41}{3}\right)} \]
