Задание 4 и 5

Краткий ответ:

• Задание 4: \(1596\) способов.
• Задание 5: \(20460\) способов.

Задание 4

Всего можно выбрать 7 человек из \(3+10=13\):

\[ \binom{13}{7}. \]

Но нужно исключить комиссии, в которых нет математиков. Тогда выбирают 7 экономистов из 10:

\[ \binom{10}{7}. \]

Поэтому:

\[ \binom{13}{7}-\binom{10}{7} =1716-120 =\boxed{1596}. \]

Принцип: если требуется «хотя бы один математик», удобно посчитать все варианты и вычесть варианты без математиков.

Задание 5

Для первой доски есть \(5\) вариантов цвета. Для каждой следующей — \(4\) варианта, потому что цвет должен отличаться от предыдущего:

\[ 5\cdot4^6=20480. \]

Теперь исключим случаи, когда использовано только два цвета. Выбираем эти два цвета:

\[ \binom52=10. \]

При использовании только двух цветов доски вынужденно чередуются. Начать можно с любого из двух цветов, поэтому:

\[ \binom52\cdot2=10\cdot2=20. \]

Тогда:

\[ 20480-20=\boxed{20460}. \]

Проверка: один цвет использовать нельзя, так как соседние доски должны быть разных цветов. Значит, нужно исключить только варианты с ровно двумя цветами.