Найдите сумму углов выпуклого а пятиугольника b шестиугольника в десятиугольника.
Краткий ответ:
- а) пятиугольника — \(\boxed{540^\circ}\);
- б) шестиугольника — \(\boxed{720^\circ}\);
- в) десятиугольника — \(\boxed{1440^\circ}\).
Принцип: выпуклый \(n\)-угольник можно разделить диагоналями из одной вершины на \(n-2\) треугольника. Поэтому
\[ S=(n-2)\cdot180^\circ. \]
Вычислим:
\[ S_5=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ; \]
\[ S_6=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ; \]
\[ S_{10}=(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. \]
Обсуждение
2 сообщенияПоказать, почему получается \(n-2\) треугольника? Показать рисунок
Да. Возьмём пятиугольник \(ABCDE\) и проведём из вершины \(A\) все возможные диагонали: \(AC\) и \(AD\).
A
/ \
/ \
B E
|\ /|
| \ / |
| \ / |
C-------D
Внутренние отрезки — это диагонали \(AC\) и \(AD\). Они разделили пятиугольник на три треугольника:
\[ \triangle ABC,\qquad \triangle ACD,\qquad \triangle ADE. \]
Получилось:
\[ 3=5-2 \]
треугольника.
Почему всегда получается \(n-2\)?
В выпуклом \(n\)-угольнике из одной вершины нельзя провести диагонали:
- к самой себе;
- к двум соседним вершинам — это стороны.
Значит, можно провести \(n-3\) диагонали. Они разделят многоугольник на
\[ (n-3)+1=n-2 \]
треугольника.
Поэтому сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна
\[ \boxed{(n-2)\cdot180^\circ}. \]
