Реши задание на изображении
Краткий ответ
№ 329
а) \(\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{A_1D_1},\ \overrightarrow{B_1C_1}\);
б) таких векторов нет;
в) \(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{B_1A_1},\ \overrightarrow{C_1D_1}\);
г) \(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{B_1A_1},\ \overrightarrow{C_1D_1}\).
№ 330
\[ \begin{aligned} \text{а) } \vec a-\vec b&=\overrightarrow{A_1A},\\ \text{б) } \vec a-\vec c&=\overrightarrow{CA},\\ \text{в) } \vec b-\vec a&=\overrightarrow{AA_1},\\ \text{г) } \vec c-\vec b&=\overrightarrow{A_1C},\\ \text{д) } \vec c-\vec a&=\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \]
На рисунке эти векторы нужно изобразить соответствующими стрелками между указанными вершинами.
Объяснение
Обозначим:
\[ \overrightarrow{AB}=\vec x,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec y,\qquad \overrightarrow{AA_1}=\vec z. \]
№ 329
\[ \overrightarrow{CB}=-\vec y. \]
Значит, противоположный ему вектор равен \(\vec y\). Ему соответствуют все рёбра, направленные так же, как \(\overrightarrow{AD}\):
\[ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{A_1D_1},\ \overrightarrow{B_1C_1}. \]
Далее:
\[ \overrightarrow{B_1A}=-(\vec x+\vec z), \]
поэтому противоположный вектор равен \(\vec x+\vec z=\overrightarrow{AB_1}\). Это диагональ грани, а не ребро, поэтому в пункте б) подходящих векторов нет.
Также:
\[ \overrightarrow{DC}=\vec x,\qquad \overrightarrow{A_1B_1}=\vec x. \]
Следовательно,
\[ -\overrightarrow{DC} =-\overrightarrow{A_1B_1} =-\vec x. \]
Всем рёбрам, направленным как \(-\vec x\), соответствуют:
\[ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{B_1A_1},\ \overrightarrow{C_1D_1}. \]
№ 330
По условию:
\[ \vec a=\overrightarrow{C_1D_1}=-\vec x, \qquad \vec b=\overrightarrow{BA_1}=\vec z-\vec x, \qquad \vec c=\overrightarrow{AD}=\vec y. \]
Тогда:
\[ \begin{aligned} \vec a-\vec b &=-\vec x-(\vec z-\vec x) =-\vec z =\overrightarrow{A_1A};\\[2mm] \vec a-\vec c &=-\vec x-\vec y =\overrightarrow{CA};\\[2mm] \vec b-\vec a &=(\vec z-\vec x)-(-\vec x) =\vec z =\overrightarrow{AA_1};\\[2mm] \vec c-\vec b &=\vec y-(\vec z-\vec x) =\vec x+\vec y-\vec z =\overrightarrow{A_1C};\\[2mm] \vec c-\vec a &=\vec y-(-\vec x) =\vec x+\vec y =\overrightarrow{AC}. \end{aligned} \]
