Реши задание на изображении
Ответ: 6 игр.
Пусть сыграно \(n\) матчей.
1. Докажем, что 5 игр недостаточно
У пяти команд количество очков — пять различных положительных целых чисел. Их сумма не меньше:
\[ 1+2+3+4+5=15. \]
За один матч можно начислить не более \(3\) очков суммарно: при победе — \(3+0=3\), при ничьей — \(1+1=2\). Значит, за \(5\) матчей можно набрать не более \(15\) очков.
Если сыграно ровно \(5\) матчей, то все они должны быть выиграны кем-то, без ничьих. Тогда очки каждой команды кратны \(3\), а пять различных положительных чисел не могут быть одновременно \(1,2,3,4,5\). Противоречие.
Следовательно, нужно сыграть хотя бы \(6\) матчей.
2. Покажем, что 6 игр достаточно
Обозначим команды \(A,B,C,D,E\).
| Матч | Результат |
|---|---|
| \(A-B\) | ничья |
| \(B-D\) | ничья |
| \(E-A\) | победа \(E\) |
| \(E-B\) | победа \(E\) |
| \(C-A\) | победа \(C\) |
| \(D-C\) | победа \(D\) |
Очки команд:
- \(A: 1\) очко;
- \(B: 2\) очка;
- \(C: 3\) очка;
- \(D: 4\) очка;
- \(E: 6\) очков.
Все очки положительны и различны:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6. \]
Проверка: сыграно \(6\) матчей, значит минимальное число игр — \(\boxed{6}\).
