Прорешай весь 4 вариант
Краткий ответ
1. Упростите выражение
а) \(\displaystyle -\frac43\)
б) \(\displaystyle x-5,\quad x\ne5\)
в) \(\displaystyle \frac{9n-7m}{m^2-9n^2}\)
г) \(\displaystyle \frac{5(4x-y)}{4x+y}\)
2. Представьте в виде дроби
а) \(\displaystyle -\frac{29}{90(b-2)}\)
б) \(\displaystyle \frac{3d^2-5c^2}{15c^3d^3}\)
в) \(\displaystyle \frac1{(y-4)(y-2)}\)
г) \(\displaystyle -\frac{3p}{p+1}\)
3.
\[ \boxed{b=16} \]
Решение
1а
\[ \frac{(a-b)^2}{3ab}-\frac{(-a-b)^2}{3ab} =\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{3ab}. \]
Используем разность квадратов:
\[ (a-b)^2-(a+b)^2= \bigl((a-b)-(a+b)\bigr)\bigl((a-b)+(a+b)\bigr) =-2b\cdot2a=-4ab. \]
Тогда
\[ \frac{-4ab}{3ab}=-\frac43. \]
1б
Так как
\[ 5-x=-(x-5), \]
то
\[ \frac{8x+25}{x-5}-\frac{x^2-18x}{5-x} = \frac{8x+25}{x-5}+\frac{x^2-18x}{x-5}. \]
Складываем:
\[ \frac{8x+25+x^2-18x}{x-5} = \frac{x^2-10x+25}{x-5}. \]
Числитель — квадрат разности:
\[ \frac{(x-5)^2}{x-5}=x-5. \]
Ответ:
\[ \boxed{x-5},\qquad x\ne5. \]
1в
Знаменатели одинаковые:
\[ \frac{15n-7m}{m^2-9n^2} -\frac{6n}{m^2-9n^2} = \frac{15n-7m-6n}{m^2-9n^2}. \]
\[ \boxed{\frac{9n-7m}{m^2-9n^2}}. \]
1г
\[ \frac{5y^2}{16x^2-y^2} -\frac{40x(y-2x)}{16x^2-y^2} = \frac{5y^2-40x(y-2x)}{16x^2-y^2}. \]
Раскроем скобки:
\[ 5y^2-40xy+80x^2 =5(y^2-8xy+16x^2) =5(y-4x)^2. \]
Знаменатель:
\[ 16x^2-y^2=(4x-y)(4x+y). \]
Так как \((y-4x)^2=(4x-y)^2\), получаем
\[ \frac{5(4x-y)^2}{(4x-y)(4x+y)} = \boxed{\frac{5(4x-y)}{4x+y}}. \]
При этом исходное выражение определено только при \(y\ne4x\) и \(y\ne-4x\).
2а
Учитываем, что \(2-b=-(b-2)\):
\[ \frac{5b-4}{15(b-2)}+\frac{6b+1}{18(2-b)} = \frac{5b-4}{15(b-2)}-\frac{6b+1}{18(b-2)}. \]
Общий знаменатель — \(90(b-2)\):
\[ \frac{6(5b-4)-5(6b+1)}{90(b-2)}. \]
\[ \frac{30b-24-30b-5}{90(b-2)} = \boxed{-\frac{29}{90(b-2)}}. \]
2б
Общий знаменатель:
\[ 15c^3d^3. \]
\[ \frac{3d-c}{3c^2d^3} -\frac{5c-d}{5c^3d^2} = \frac{5c(3d-c)-3d(5c-d)}{15c^3d^3}. \]
Раскрываем скобки:
\[ 5c(3d-c)-3d(5c-d) =15cd-5c^2-15cd+3d^2 =3d^2-5c^2. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{3d^2-5c^2}{15c^3d^3}}. \]
2в
Разложим второй знаменатель:
\[ 4-y^2=-(y-2)(y+2). \]
Тогда
\[ \frac{3}{(y+2)(y-4)}+\frac{2}{4-y^2} = \frac{3}{(y+2)(y-4)} -\frac{2}{(y+2)(y-2)}. \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{3(y-2)-2(y-4)} {(y+2)(y-4)(y-2)}. \]
\[ 3(y-2)-2(y-4)=3y-6-2y+8=y+2. \]
Следовательно,
\[ \frac{y+2}{(y+2)(y-4)(y-2)} = \boxed{\frac1{(y-4)(y-2)}}. \]
Ограничения исходного выражения:
\[ y\ne-2,\quad y\ne2,\quad y\ne4. \]
2г
Приведём всё к знаменателю \(p+1\):
\[ \frac{p^2+2}{p+1}-p-2 = \frac{p^2+2-(p+2)(p+1)}{p+1}. \]
\[ (p+2)(p+1)=p^2+3p+2. \]
Поэтому
\[ \frac{p^2+2-p^2-3p-2}{p+1} = \boxed{-\frac{3p}{p+1}}. \]
3. Найдём \(b\)
По условию выражения тождественно равны:
\[ \frac{3x+4}{4-x} = \frac{b}{4-x}-3. \]
Преобразуем правую часть:
\[ \frac{b}{4-x}-3 = \frac{b-3(4-x)}{4-x} = \frac{b-12+3x}{4-x}. \]
Теперь сравниваем числители:
\[ 3x+4=3x+b-12. \]
\[ 4=b-12, \qquad b=16. \]
Проверка:
\[ \frac{16}{4-x}-3 = \frac{16-12+3x}{4-x} = \frac{3x+4}{4-x}. \]
Значит,
\[ \boxed{b=16}. \]
Главный принцип: сначала раскладываем на множители, затем приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем только общие множители, сохраняя ограничения на переменные.
