Реши два и три

Краткий ответ:

• 2) \(\boxed{-33}\)
• 3) \(\boxed{\dfrac{7}{5}}\)

2. Нахождение \(b\)

У касательной и параболы в точке касания совпадают:

1. значения функций;
2. угловые коэффициенты.

Производная параболы:

\[ f'(x)=56x+b. \]

Так как угловой коэффициент прямой \(y=-5x+8\) равен \(-5\), то

\[ 56x_0+b=-5, \qquad b=-5-56x_0. \]

Приравняем значения функций:

\[ 28x_0^2+bx_0+15=-5x_0+8. \]

Подставим \(b=-5-56x_0\):

\[ 28x_0^2+(-5-56x_0)x_0+15=-5x_0+8, \]

\[ -28x_0^2+7=0, \qquad x_0^2=\frac14. \]

По условию \(x_0>0\), значит

\[ x_0=\frac12. \]

Тогда

\[ b=-5-56\cdot\frac12=-5-28=\boxed{-33}. \]

Проверка: \(f'(0{,}5)=56\cdot0{,}5-33=-5\), как у касательной.

3. Значение производной

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной:

\[ f'(x_0)=k. \]

По графику касательная проходит через точки \((3;1)\) и \((8;8)\). Поэтому

\[ k=\frac{8-1}{8-3}=\frac75. \]

Следовательно,

\[ \boxed{f'(x_0)=\frac75}. \]