Реши задание на изображении
Краткий ответ: выберем самого лёгкого кота и 99 котов с номерами от 100-го до 198-го по возрастанию веса.
Доказательство.
Обозначим котов \(C_1,C_2,\ldots,C_{198}\) так, чтобы
\[ C_1 \text{ — самый лёгкий},\qquad C_{198} \text{ — самый тяжёлый}. \]
Рассмотрим любого кота \(C_j\), где \(100\le j\le198\). Составим группу из 100 котов, включив в неё:
- \(C_1\);
- \(C_j\);
- любые 98 котов легче \(C_j\).
Это возможно, потому что перед \(C_j\) находится как минимум 99 котов. В этой группе \(C_j\) — самый тяжёлый, значит, по условию он одновременно самый быстрый. Поэтому
\[ C_j \text{ быстрее } C_1. \]
Так верно для всех \(j=100,101,\ldots,198\).
Теперь выберем группу
\[ \{C_1,C_{100},C_{101},\ldots,C_{198}\}. \]
В ней \(1+99=100\) котов. Кот \(C_1\) — самый лёгкий, а все остальные 99 котов быстрее него. Значит, \(C_1\) одновременно является самым лёгким и самым медленным.
Ответ доказан.
Обсуждение
2 сообщенияУкороти решение
Пусть коты упорядочены по весу:
\[ C_1<C_2<\dots<C_{198}. \]
Для каждого \(C_j\) (\(100\le j\le198\)) возьмём его, \(C_1\) и ещё 98 более лёгких котов. \(C_j\) — самый тяжёлый, значит, по условию самый быстрый. Следовательно, все коты \(C_{100},\dots,C_{198}\) быстрее \(C_1\).
Поэтому в группе
\[ C_1,C_{100},C_{101},\dots,C_{198} \]
кот \(C_1\) — самый лёгкий и самый медленный.
