Реши номер 38 б и г
Краткий ответ:
- б) \(\displaystyle \frac{1}{20}\)
- г) \(\displaystyle \frac{5}{11}\)
б)
Используем формулу:
\[ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} \frac1{10\cdot11}+\frac1{11\cdot12}+\dots+\frac1{19\cdot20} &=\left(\frac1{10}-\frac1{11}\right)+\left(\frac1{11}-\frac1{12}\right)+\dots\\ &\quad+\left(\frac1{19}-\frac1{20}\right). \end{aligned} \]
Промежуточные дроби сокращаются:
\[ \frac1{10}-\frac1{20}=\boxed{\frac1{20}}. \]
г)
Здесь знаменатели имеют вид \(n(n+2)\). Используем:
\[ \frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right). \]
\[ \begin{aligned} \frac13+\frac1{15}+\frac1{35}+\frac1{63}+\frac1{99} &=\frac12\left(1-\frac13\right) +\frac12\left(\frac13-\frac15\right)\\ &\quad+\frac12\left(\frac15-\frac17\right) +\frac12\left(\frac17-\frac19\right) +\frac12\left(\frac19-\frac1{11}\right). \end{aligned} \]
После сокращения:
\[ \frac12\left(1-\frac1{11}\right) =\frac12\cdot\frac{10}{11} =\boxed{\frac5{11}}. \]
Проверка: во всех суммах взаимно уничтожаются промежуточные дроби, остаются только первый и последний члены.
Обсуждение
4 сообщенияПосле тогда у меня непонятные знаки
Понял. Перепишу проще.
Значки:
- \( \cdot \) — умножение;
- \( - \) — вычитание;
- \( \dots \) — дальше идут такие же слагаемые;
- \( \frac12(\ldots) \) — всё в скобках умножается на \(\frac12\).
Пункт б
\[ \frac1{10\cdot11}=\frac1{10}-\frac1{11}. \]
Поэтому вся сумма превращается в:
\[ \left(\frac1{10}-\frac1{11}\right) +\left(\frac1{11}-\frac1{12}\right) +\dots+ \left(\frac1{19}-\frac1{20}\right). \]
Одинаковые дроби уничтожаются:
\[ -\frac1{11}+\frac1{11}=0,\quad -\frac1{12}+\frac1{12}=0. \]
Остаётся:
\[ \frac1{10}-\frac1{20}=\boxed{\frac1{20}}. \]
В пункте г происходит то же самое: промежуточные дроби сокращаются, остаётся
\[ \frac12\left(1-\frac1{11}\right)=\boxed{\frac5{11}}. \]
Смотри
