Реши 2 вариант

Краткий ответ

Во всех формулах \(n\in\mathbb Z\).

1. \(\displaystyle x=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}\).
2. \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\).
3. \(\displaystyle x=-\arctan\frac16+\pi n\) или \(\displaystyle x=-\arctan 2+\pi n\).
4. \(\displaystyle x=\arctan\frac25+\pi n\) или \(\displaystyle x=-\arctan 2+\pi n\).
5. \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\) или \(\displaystyle x=-\arctan\frac85+\pi n\).
6. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\pi n\) или \(\displaystyle x=-\arctan 7+\pi n\).

---

Решение

1. \(10\cos^2x-17\cos x+6=0\)

Пусть \(t=\cos x\). Тогда:

\[ 10t^2-17t+6=0. \]

\[ D=(-17)^2-4\cdot10\cdot6=49. \]

\[ t=\frac{17\pm7}{20}. \]

Получаем:

\[ t_1=\frac65,\qquad t_2=\frac12. \]

Значение \(\frac65\) невозможно, так как \(|\cos x|\le1\). Поэтому

\[ \cos x=\frac12. \]

Отсюда

\[ \boxed{x=2\pi n\pm\frac{\pi}{3}}. \]

Проверка:

\[ 10\cdot\frac14-17\cdot\frac12+6=0. \]

---

2. \(2\cos^2x+5\sin x+5=0\)

Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\). Пусть \(t=\sin x\):

\[ 2(1-t^2)+5t+5=0, \]

\[ 2t^2-5t-7=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t+1)(2t-7)=0. \]

\[ t=-1\quad\text{или}\quad t=\frac72. \]

Значение \(\frac72\) невозможно. Значит,

\[ \sin x=-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n}. \]

Проверка: при \(\sin x=-1\) имеем \(\cos^2x=0\), поэтому

\[ 2\cdot0+5(-1)+5=0. \]

---

3. \(6\sin^2x+13\sin x\cos x+2\cos^2x=0\)

Если \(\cos x=0\), то левая часть равна \(6\ne0\). Значит, можно разделить на \(\cos^2x\):

\[ 6\tan^2x+13\tan x+2=0. \]

Пусть \(t=\tan x\). Тогда

\[ 6t^2+13t+2=0. \]

\[ D=13^2-4\cdot6\cdot2=121. \]

\[ t=\frac{-13\pm11}{12}. \]

Отсюда

\[ t=-\frac16\quad\text{или}\quad t=-2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=-\arctan\frac16+\pi n} \]

или

\[ \boxed{x=-\arctan2+\pi n}. \]

---

4. \(5\tg x-4\ctg x+8=0\)

Здесь \(\tg x\) и \(\ctg x\) определены, причём \(\tg x\ne0\). Обозначим

\[ t=\tg x,\qquad \ctg x=\frac1t. \]

Тогда

\[ 5t-\frac4t+8=0. \]

Умножим на \(t\):

\[ 5t^2+8t-4=0. \]

\[ D=8^2-4\cdot5\cdot(-4)=144. \]

\[ t=\frac{-8\pm12}{10}. \]

\[ t=\frac25\quad\text{или}\quad t=-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\arctan\frac25+\pi n} \]

или

\[ \boxed{x=-\arctan2+\pi n}. \]

---

5. \(6\cos^2x+13\sin2x=-10\)

При \(\cos x=0\) левая часть равна \(0\), поэтому решений такого вида нет. Делим уравнение на \(\cos^2x\) и используем

\[ \sin2x=2\sin x\cos x. \]

Пусть \(t=\tan x\). Тогда:

\[ 6+26t=-10(1+t^2). \]

\[ 10t^2+26t+16=0. \]

После деления на \(2\):

\[ 5t^2+13t+8=0. \]

\[ (5t+8)(t+1)=0. \]

\[ t=-\frac85\quad\text{или}\quad t=-1. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=-\arctan\frac85+\pi n} \]

или

\[ \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+\pi n}. \]

Проверка для \(t=-1\):

\[ \cos^2x=\frac12,\qquad \sin2x=-1, \]

\[ 6\cdot\frac12+13(-1)=3-13=-10. \]

---

6. \(2\sin^2x+6\sin2x=7(1+\cos2x)\)

Если \(\cos x=0\), то левая часть равна \(2\), а правая — \(0\), поэтому \(\cos x\ne0\).

Используем формулы:

\[ \sin2x=2\sin x\cos x,\qquad 1+\cos2x=2\cos^2x. \]

Пусть \(t=\tan x\). Тогда:

\[ 2t^2\cos^2x+12t\cos^2x=14\cos^2x. \]

Делим на \(2\cos^2x\):

\[ t^2+6t=7, \]

\[ t^2+6t-7=0. \]

\[ (t-1)(t+7)=0. \]

\[ t=1\quad\text{или}\quad t=-7. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi n} \]

или

\[ \boxed{x=-\arctan7+\pi n}. \]