Реши правильно

Разберём по формулам.

А1

Проекции вектора на оси:

\[ r_x=r\cos\alpha,\qquad r_y=r\sin\alpha. \]

При \(r=1\) м и \(\alpha=30^\circ\):

\[ r_x=1\cdot\cos30^\circ\approx0{,}87\text{ м}, \] \[ r_y=1\cdot\sin30^\circ=0{,}5\text{ м}. \]

Обе проекции положительные, потому что вектор находится в I четверти. Поэтому правильный вариант — 3.

А2

Здесь \(r=2\) м, \(\alpha=135^\circ\):

\[ r_x=2\cos135^\circ\approx-1{,}41\text{ м}, \] \[ r_y=2\sin135^\circ\approx1{,}41\text{ м}. \]

Вектор расположен во II четверти: проекция на \(x\) отрицательная, а на \(y\) положительная. Правильный вариант — 4.

А3

Длина вектора с проекциями \(3\) м и \(4\) м находится по теореме Пифагора:

\[ r=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5\text{ м}. \]

Правильный вариант — 2.

А4

Если \(x=4\) и \(y=0\) постоянны, а меняется только координата \(z\), то точка движется вдоль направления \(z\):

\[ x=4,\qquad y=0,\qquad z=z(t). \]

Значит, правильный вариант — 4.

А5

Перемещение вычисляется так:

\[ \Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1. \]

Получаем:

\[ \Delta\vec r=(-3;\,3). \]

У вектора отрицательная \(x\)-координата и положительная \(y\)-координата, поэтому он направлен во II четверть. Его угол:

\[ \varphi=135^\circ. \]

Правильный вариант — 3.

Итог: \(3,\;4,\;2,\;4,\;3\).

Да, можно объяснить простыми словами:

А1 — вариант 3

Вектор длиной \(1\) м образует угол \(30^\circ\) с горизонталью. Мы мысленно разбиваем его на две части:

• горизонтальную — \(1\cdot\cos30^\circ\approx0{,}87\) м;
• вертикальную — \(1\cdot\sin30^\circ=0{,}5\) м.

Вектор направлен вправо и вверх, поэтому обе проекции положительные.

Учителю: «Я разложил вектор на горизонтальную и вертикальную составляющие по формулам синуса и косинуса».

А2 — вариант 4

Угол \(135^\circ\) показывает, что вектор направлен вверх и влево. Поэтому:

• по оси \(x\) он движется влево — проекция отрицательная;
• по оси \(y\) движется вверх — проекция положительная.

\[ r_x=2\cos135^\circ\approx-1{,}41\text{ м}, \qquad r_y=2\sin135^\circ\approx1{,}41\text{ м}. \]

Учителю: «Вектор находится во второй четверти, поэтому \(x\)-проекция отрицательная, а \(y\)-проекция положительная».

А3 — вариант 2

Проекции \(3\) м и \(4\) м образуют прямоугольный треугольник, а сам вектор является его гипотенузой:

\[ r=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ м}. \]

Учителю: «Длину вектора нашёл по теореме Пифагора».

А4 — вариант 4

Координата \(x=4\) не меняется, значит, точка не движется вправо или влево. Координата \(y=0\) тоже постоянна. Меняется только \(z\), поэтому точка движется вдоль оси \(z\):

\[ x=4,\qquad y=0,\qquad z=z(t). \]

Учителю: «Так как меняется только координата \(z\), траектория — прямая, параллельная оси \(z\)».

А5 — вариант 3

Перемещение — это положение в конце минус положение в начале. Получается:

\[ \Delta\vec r=(-3;\,3). \]

Это значит: по горизонтали тело переместилось на \(3\) единицы влево, а по вертикали — на \(3\) единицы вверх. Поэтому вектор направлен во вторую четверть. Угол равен \(135^\circ\).

Учителю: «Перемещение направлено влево и вверх, поэтому его координаты \((-3;3)\), а угол с положительным направлением оси \(x\) равен \(135^\circ\)».