Реши 5 задание

Решим систему неравенств:

\[ \begin{cases} x^2-6x+8\le 0,\\ 3x-8\ge 0. \end{cases} \]

1. Решим первое неравенство

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4), \]

так как

\[ 2+4=6,\qquad 2\cdot4=8. \]

Получаем:

\[ (x-2)(x-4)\le 0. \]

Найдём нули множителей:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]

\[ x-4=0 \Rightarrow x=4. \]

Отметим точки \(2\) и \(4\) на числовой прямой:

• при \(x<2\) оба множителя отрицательны, произведение положительно;
• при \(2<x<4\) множители имеют разные знаки, произведение отрицательно;
• при \(x>4\) оба множителя положительны, произведение положительно.

Нам нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю, поэтому корни включаем:

\[ x\in[2;4]. \]

2. Решим второе неравенство

\[ 3x-8\ge0. \]

Перенесём \(-8\) в правую часть:

\[ 3x\ge8. \]

Разделим обе части на положительное число \(3\), знак неравенства не меняется:

\[ x\ge\frac83. \]

Следовательно,

\[ x\in\left[\frac83;+\infty\right). \]

3. Найдём пересечение решений

Для системы должны одновременно выполняться оба неравенства:

\[ [2;4]\cap\left[\frac83;+\infty\right). \]

Так как

\[ 2<\frac83<4, \]

получаем:

\[ \boxed{x\in\left[\frac83;4\right]}. \]

Проверка границ

При \(x=\frac83\):

\[ 3\cdot\frac83-8=0, \]

поэтому число \(\frac83\) входит в ответ.

При \(x=4\):

\[ 4^2-6\cdot4+8=16-24+8=0, \]

поэтому число \(4\) также входит в ответ.

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[\frac83;4\right]}. \]

Решим систему неравенств с помощью схемы параболы:

\[ \begin{cases} x^2-6x+8\le 0,\\ 3x-8\ge 0. \end{cases} \]

1. Строим схему параболы

Рассмотрим функцию

\[ y=x^2-6x+8. \]

Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где

\[ a=1>0. \]

Так как \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.

Найдём точки пересечения с осью \(Ox\)

Для этого приравняем функцию к нулю:

\[ x^2-6x+8=0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-6x+8=(x-2)(x-4). \]

Тогда

\[ (x-2)(x-4)=0, \]

откуда

\[ x_1=2,\qquad x_2=4. \]

Парабола пересекает ось \(Ox\) в точках:

\[ (2;0)\quad\text{и}\quad(4;0). \]

Вершина находится между корнями, при

\[ x_0=\frac{2+4}{2}=3. \]

Найдём её ординату:

\[ y_0=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1. \]

Вершина параболы:

\[ (3;-1). \]

Схема параболы

Схема построена не в масштабе:

                         y
                         ↑
                         │             ╱
                         │           ╱
                         │         ╱
                         │       ╱
───────────────●─────────┼─────────●────────→ x
               2         │         4
                  ╲      │      ╱
                    ╲    │    ╱
                      ╲  │  ╱
                       ╲_│╱
                         ●
                       (3;−1)

Парабола расположена ниже или на оси \(Ox\) на промежутке от \(2\) до \(4\).

Поэтому из первого неравенства

\[ x^2-6x+8\le0 \]

получаем:

\[ x\in[2;4]. \]

Точки \(2\) и \(4\) включаются, потому что знак неравенства содержит «\(\le\)».

На числовой прямой:

        ●════════════════●
        2                4

---

2. Решим второе неравенство

\[ 3x-8\ge0. \]

Перенесём \(-8\) вправо:

\[ 3x\ge8. \]

Разделим обе части на положительное число \(3\):

\[ x\ge\frac83. \]

Следовательно,

\[ x\in\left[\frac83;+\infty\right). \]

На числовой прямой:

              ●════════════════════════════→
             8/3

Точка \(\frac83\) включается, потому что знак неравенства содержит «\(\ge\)».

---

3. Пересечём решения

Первое неравенство даёт:

\[ x\in[2;4]. \]

Второе неравенство даёт:

\[ x\in\left[\frac83;+\infty\right). \]

Накладываем промежутки друг на друга:

[2;4]:          2──────────8/3──────────4

[8/3;+∞):                 8/3──────────→

Общая часть:              8/3──────────4

Значит,

\[ \boxed{x\in\left[\frac83;4\right]}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\left[\frac83;4\right]}. \]