Реши задание на изображении
Краткий ответ: прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, является квадратом.
Доказательство. Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, а его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AC=BD,\qquad AO=\frac{AC}{2},\qquad BO=\frac{BD}{2}. \] Значит, \[ AO=BO. \]
По условию \(AC\perp BD\), поэтому \[ \angle AOB=90^\circ. \] Треугольник \(AOB\) — равнобедренный прямоугольный, следовательно, \[ \angle OAB=\angle ABO=45^\circ. \]
Точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, поэтому \[ \angle BAC=\angle OAB=45^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \[ \angle ABC=90^\circ,\qquad \angle BCA=90^\circ-45^\circ=45^\circ. \] Значит, углы при \(A\) и \(C\) равны, поэтому противолежащие им стороны равны: \[ AB=BC. \]
У прямоугольника все углы прямые, а две соседние стороны равны. Следовательно, \(ABCD\) — квадрат. ∎
Обсуждение
3 сообщенияА где написано Докажите
Нигде — вы правы. Я сам оформил решение как доказательство, хотя в условии этого не требовалось. Нужно было дать только ответ и необходимые вычисления.
Кристаллические вещества, алмаз
