Реши задание на изображении

Пришли изображение ещё раз, пожалуйста: сейчас условия 15 заданий не отображаются. Я решу все по порядку с объяснением.

Это продолжение текущего задания, а не новая задача: ты прислал изображение с теми 15 упражнениями, условия которых нужно было повторно отправить.

Решение

1. Вписанный угол вдвое меньше центрального: \[ \angle ACB=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{173^\circ}{2}=86{,}5^\circ. \]

2. Дуга \(AB\) и центральный угол: \[ \angle AOB=2\angle ACB=2\cdot78^\circ=156^\circ. \] Так как \(BD\) — диаметр, \[ \angle AOD=180^\circ-156^\circ=24^\circ. \]

3. \(OA=OB\), поэтому \(\angle OBA=\angle OAB=27^\circ\): \[ \angle AOB=180^\circ-27^\circ-27^\circ=126^\circ. \] Дуга \(AC\), на которую опирается \(\angle ABC\), равна: \[ 2\cdot46^\circ=92^\circ. \] Тогда дуга \(BC\): \[ 360^\circ-126^\circ-92^\circ=142^\circ. \] В равнобедренном треугольнике \(BOC\): \[ \angle BCO=\frac{180^\circ-142^\circ}{2}=19^\circ. \]

4. Дуга \(ADC\): \[ 2\angle ABC=2\cdot38^\circ=76^\circ. \] Дуга \(CD\): \[ 2\angle CAD=2\cdot33^\circ=66^\circ. \] Тогда дуга \(AD=76^\circ-66^\circ=10^\circ\), поэтому \[ \angle ABD=\frac{10^\circ}{2}=5^\circ. \]

5. Центр окружности лежит на \(AB\), значит \(AB\) — диаметр: \[ AB=2R=2\cdot20{,}5=41. \] По теореме Пифагора: \[ BC=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1600}=40. \]

6. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла: \[ \angle AOB=180^\circ-\angle C=180^\circ-115^\circ=65^\circ. \]

7. По теореме о пересекающихся хордах: \[ AP\cdot CP=BP\cdot DP. \] \[ AP\cdot12=4\cdot21=84, \qquad AP=7. \]

8. \(AC=AB+BC=7+21=28\). По теореме о касательной и секущей: \[ AK^2=AB\cdot AC=7\cdot28=196, \] \[ AK=14. \]

9. В равностороннем треугольнике высота втрое больше радиуса вписанной окружности: \[ h=3r=3\cdot14=42. \]

10. Сторона квадрата равна диаметру окружности: \[ a=2r=14. \] \[ S=a^2=14^2=196. \]

11. Радиус вписанной окружности — половина стороны квадрата: \[ a=2r=44\sqrt2. \] Радиус описанной окружности: \[ R=\frac{a\sqrt2}{2} =\frac{44\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=44. \]

12. Для описанного около окружности четырёхугольника: \[ AB+CD=BC+AD. \] \[ 14+23=15+AD, \qquad AD=22. \]

13. Сектор с углом \(30^\circ\) составляет \(\frac1{12}\) площади круга: \[ S_{\text{сектора}}=180\cdot\frac{30}{360}=15. \]

14. Для равностороннего треугольника: \[ R=\frac{2h}{3}. \] \[ h=\frac{3R}{2}=\frac{3\cdot2}{2}=3. \]

15. Сторона квадрата: \[ a=2r=36\sqrt2. \] Диагональ: \[ d=a\sqrt2=36\sqrt2\cdot\sqrt2=72. \]

Ответы

\[ \boxed{1)\ 86{,}5^\circ;\quad 2)\ 24^\circ;\quad 3)\ 19^\circ;\quad 4)\ 5^\circ;\quad 5)\ 40;} \]

\[ \boxed{6)\ 65^\circ;\quad 7)\ 7;\quad 8)\ 14;\quad 9)\ 42;\quad 10)\ 196;} \]

\[ \boxed{11)\ 44;\quad 12)\ 22;\quad 13)\ 15;\quad 14)\ 3;\quad 15)\ 72.} \]