Как решать
Краткий ответ: определитель \(3\times3\) считают тремя способами: по правилу Саррюса, разложением по строке или столбцу и приведением к треугольному виду. Определитель \(4\times4\) — разложением по минорам и методом Гаусса. Все полученные результаты должны совпасть.
На фото несколько вариантов, поэтому точные числа зависят от номера. Ниже — общий алгоритм.
1. Определитель третьего порядка
Пусть
\[ D= \begin{vmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{vmatrix}. \]
Способ 1. Правило Саррюса
\[ D=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh. \]
Сначала складываем произведения по главным диагоналям, затем вычитаем произведения по обратным диагоналям.
Способ 2. Разложение по первой строке
\[ D=a \begin{vmatrix} e&f\\ h&i \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} d&f\\ g&i \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} d&e\\ g&h \end{vmatrix}. \]
После вычисления определителей второго порядка:
\[ D=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg). \]
Способ 3. Приведение к треугольному виду
Разрешены преобразования:
- \(R_i\to R_i+kR_j\) — определитель не изменяется;
- перестановка двух строк — меняет знак определителя;
- умножение строки на \(k\) — умножает определитель на \(k\).
После преобразований получаем
\[ \begin{vmatrix} u_{11}&u_{12}&u_{13}\\ 0&u_{22}&u_{23}\\ 0&0&u_{33} \end{vmatrix}. \]
Тогда
\[ D=u_{11}u_{22}u_{33}, \]
но нужно учесть перестановки или умножение строк.
Пример для варианта 1
Для матрицы
\[ A= \begin{pmatrix} -7&12&3\\ 3&-6&1\\ 1&2&-4 \end{pmatrix} \]
по правилу Саррюса:
\[ \begin{aligned} D={}&(-7)(-6)(-4)+12\cdot1\cdot1+3\cdot3\cdot2\\ &-\left(3\cdot(-6)\cdot1+12\cdot3\cdot(-4)+(-7)\cdot1\cdot2\right)\\ ={}&-168+12+18-(-18-144-14)=38. \end{aligned} \]
При разложении по первой строке также получится:
\[ D=(-7)(22)-12(-13)+3(12)=38. \]
Значит, результат проверен двумя способами.
2. Определитель четвёртого порядка
Пусть дана матрица \(B=(b_{ij})\).
Способ 1. Разложение по строке или столбцу
Например, по первой строке:
\[ D_4=b_{11}M_{11}-b_{12}M_{12} +b_{13}M_{13}-b_{14}M_{14}, \]
где \(M_{1j}\) — определитель третьего порядка, полученный удалением первой строки и \(j\)-го столбца.
Знаки при разложении по первой строке:
\[ +\quad-\quad+\quad-. \]
Каждый определитель \(3\times3\) затем вычисляется одним из способов выше.
Способ 2. Метод Гаусса
Приводим матрицу к треугольному виду:
\[ \begin{pmatrix} u_{11}&*&*&*\\ 0&u_{22}&*&*\\ 0&0&u_{33}&*\\ 0&0&0&u_{44} \end{pmatrix}. \]
Тогда
\[ D_4=u_{11}u_{22}u_{33}u_{44}, \]
с учётом изменения знака при перестановке строк.
Например, для правой матрицы варианта 1 разложение по первой строке даёт:
\[ D_4=3\cdot132-4(-144)+(-5)(-332)-2(-592)=3816. \]
Методом Гаусса должен получиться тот же результат:
\[ D_4=3816. \]
3. Проверка в Excel
Если матрица \(3\times3\) записана в диапазоне A1:C3, введи:
=МОПРЕД(A1:C3)
Для матрицы \(4\times4\), например в диапазоне E1:H4:
=МОПРЕД(E1:H4)
В англоязычной версии Excel используется функция:
=MDETERM(A1:C3)
Результаты всех ручных способов и Excel должны совпасть.
