С рисунками

Краткий ответ

1. \(x\in(11;+\infty)\)
2. \(x\in[2;3)\)
3. \(x\in(-22;3]\)
4. \(x\in(-\infty;-5)\)
5. \(x\in\left(\frac{19}{2};+\infty\right)\)
6. \(x\in\left[-\frac59;+\infty\right)\)
7. \(x\in\left[\frac53;10\right)\)
8. \(x\in\left[-\frac54;-\frac{19}{16}\right]\)

На рисунках: \(●\) — точка входит, \(○\) — не входит, стрелка показывает продолжение промежутка.

1)  11 ○════════════════▶

2)  2 ●════════○ 3

3)  -22 ○════════════● 3

4)  ◀════════════○ -5

5)  19/2 ○════════════▶

6)  -5/9 ●════════════▶

7)  5/3 ●════════○ 10

8)  -5/4 ●══════○ -19/16

Основной принцип

Сначала требуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\[ \text{подкоренное выражение}\ge 0. \]

Затем обе части можно возвести в квадрат, так как правая часть во всех неравенствах неотрицательна.

---

Решение

1)

\[ \sqrt{x-2}>3 \]

ОДЗ:

\[ x-2\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge2. \]

Возводим в квадрат:

\[ x-2>9\quad\Rightarrow\quad x>11. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in(11;+\infty)}. \]

---

2)

\[ \sqrt{x-2}<1 \]

\[ x-2\ge0\Rightarrow x\ge2, \]

\[ x-2<1\Rightarrow x<3. \]

Объединяем условия:

\[ \boxed{x\in[2;3)}. \]

---

3)

\[ \sqrt{3-x}<5 \]

\[ 3-x\ge0\Rightarrow x\le3, \]

\[ 3-x<25\Rightarrow -x<22\Rightarrow x>-22. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x\in(-22;3]}. \]

---

4)

\[ \sqrt{4-x}>3 \]

\[ 4-x\ge0\Rightarrow x\le4, \]

\[ 4-x>9\Rightarrow -x>5\Rightarrow x<-5. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-5)}. \]

---

5)

\[ \sqrt{2x-3}>4 \]

\[ 2x-3\ge0\Rightarrow x\ge\frac32, \]

\[ 2x-3>16\Rightarrow 2x>19\Rightarrow x>\frac{19}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left(\frac{19}{2};+\infty\right)}. \]

---

6)

\[ \sqrt{x+1}\ge\frac23 \]

\[ x+1\ge0\Rightarrow x\ge-1, \]

\[ x+1\ge\frac49\Rightarrow x\ge-\frac59. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac59;+\infty\right)}. \]

---

7)

\[ \sqrt{3x-5}<5 \]

\[ 3x-5\ge0\Rightarrow x\ge\frac53, \]

\[ 3x-5<25\Rightarrow 3x<30\Rightarrow x<10. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[\frac53;10\right)}. \]

---

8)

\[ \sqrt{4x+5}\le\frac12 \]

\[ 4x+5\ge0\Rightarrow x\ge-\frac54, \]

\[ 4x+5\le\frac14. \]

\[ 4x\le-\frac{19}{4}\Rightarrow x\le-\frac{19}{16}. \]

Объединяем:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac54;-\frac{19}{16}\right]}. \]

Проверка границ: например, в №8 при \(x=-\frac{19}{16}\) получаем \(\sqrt{\frac14}=\frac12\), поэтому правая граница включается.