Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. В условии не указана четверть (или диапазон) угла \(\alpha\), поэтому для произвольного угла:

а) \(\displaystyle \sin\alpha=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\);

б) \(\displaystyle \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{21}}5\);

в) \(\displaystyle \tg\alpha=\pm\sqrt3\).

Если подразумевается \(0^\circ<\alpha<180^\circ\), то:
а) \(\displaystyle \frac{2\sqrt2}{3}\), б) \(\displaystyle \pm\frac{\sqrt{21}}5\), в) \(\displaystyle \sqrt3\).

2. На единичной окружности лежит только точка \(A\).

3.

а) \(\boxed{M(2;\,2\sqrt3)}\);

б) \(\boxed{M(-4\sqrt3;\,4)}\).

---

Решение

1. Тригонометрические значения

Используем основное тождество:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]

а) Если \(\cos\alpha=-\frac13\), то

\[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-\frac19=\frac89. \]

Значит,

\[ \sin\alpha=\pm\sqrt{\frac89} =\pm\frac{2\sqrt2}{3}. \]

б) Если \(\sin\alpha=\frac25\), то

\[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha =1-\frac4{25}=\frac{21}{25}. \]

Следовательно,

\[ \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{21}}5. \]

в) Если \(\cos\alpha=\frac12\), то

\[ \sin^2\alpha=1-\frac14=\frac34, \qquad \sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2}. \]

Тогда

\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\pm\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =\pm\sqrt3. \]

Знак зависит от четверти угла.

---

2. Проверка точек

Точка лежит на единичной окружности, если

\[ x^2+y^2=1. \]

а) \(A\left(\frac14;\frac{\sqrt{15}}4\right)\):

\[ \left(\frac14\right)^2+ \left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2 =\frac1{16}+\frac{15}{16}=1. \]

Точка \(A\) лежит на единичной окружности.

б) \(B(7;3)\):

\[ 7^2+3^2=49+9=58\ne1. \]

Точка \(B\) не лежит на единичной окружности.

в) \(C\left(\frac12;\frac12\right)\):

\[ \left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2 =\frac14+\frac14=\frac12\ne1. \]

Точка \(C\) не лежит на единичной окружности.

---

3. Координаты точки по длине и углу

Для точки \(M\), находящейся на расстоянии \(r=OM\) под углом \(\alpha\):

\[ x=r\cos\alpha,\qquad y=r\sin\alpha. \]

а) \(OM=4,\ \alpha=60^\circ\):

\[ x=4\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2, \]

\[ y=4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3. \]

Поэтому

\[ M(2;\,2\sqrt3). \]

Проверка:

\[ 2^2+(2\sqrt3)^2=4+12=16=4^2. \]

б) \(OM=8,\ \alpha=150^\circ\):

\[ x=8\cos150^\circ =8\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =-4\sqrt3, \]

\[ y=8\sin150^\circ =8\cdot\frac12=4. \]

Следовательно,

\[ M(-4\sqrt3;\,4). \]

Проверка:

\[ (-4\sqrt3)^2+4^2=48+16=64=8^2. \]