Реши задание на изображении

Краткий ответ

55. Корни среди данных чисел:
\[ \boxed{-2,\ 2,\ 3} \]

56.

• а) \(\boxed{x=0,\ 7}\);
• б) \(\boxed{x=\frac52}\);
• в) \(\boxed{y=-2,\ 0,\ 2}\);
• г) \(\boxed{y=-2,\ 2}\).

57.

• а) корней нет;
• б) корень есть: \(\boxed{x=3}\);
• в) корней нет;
• г) корней нет.

Решение

Корень многочлена — это такое значение переменной, при котором многочлен равен нулю.

55

\[ x^3-3x^2-4x+12 =x^2(x-3)-4(x-3) \]

\[ =(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2). \]

Значит, корни многочлена:

\[ x=3,\quad x=2,\quad x=-2. \]

Из предложенных чисел подходят:

\[ \boxed{-2,\ 2,\ 3}. \]

56

а)

\[ x^2-7x=x(x-7). \]

Отсюда:

\[ x=0\quad\text{или}\quad x=7. \]

б)

\[ 2x-5=0, \qquad 2x=5, \qquad x=\frac52. \]

в)

\[ y^3-4y=y(y^2-4)=y(y-2)(y+2). \]

Следовательно:

\[ \boxed{y=-2,\ 0,\ 2}. \]

г)

\[ y^4-16=(y^2-4)(y^2+4) =(y-2)(y+2)(y^2+4). \]

Уравнение \(y^2+4=0\) не имеет действительных корней, поэтому:

\[ \boxed{y=-2,\ 2}. \]

57

а)

\[ x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1. \]

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому корней нет.

б)

\[ x^3-27=0 \Rightarrow x^3=27 \Rightarrow \boxed{x=3}. \]

в)

\[ -2y^6-1=0 \Rightarrow y^6=-\frac12. \]

Но \(y^6\geq 0\) для любого действительного \(y\). Корней нет.

г) Пусть \(t=y^2\), тогда \(t\geq0\):

\[ y^4+3y^2+7=t^2+3t+7. \]

\[ t^2+3t+7=\left(t+\frac32\right)^2+\frac{19}{4}>0. \]

Многочлен никогда не равен нулю, поэтому действительных корней нет.