Реши все
Краткие ответы
- \(\cos A=\dfrac14,\quad \tg A=\sqrt{15}\).
- \(\cos B=\dfrac34\).
- \(\dfrac{S}{\sqrt2}=162\) \((S=162\sqrt2)\).
- \(S=117\).
- \(S=480\).
Решение
№ 1
Так как \(\angle C=90^\circ\), углы \(A\) и \(B\) острые. Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2 A+\cos^2 A=1. \]
\[ \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2} =\sqrt{1-\frac{15}{16}} =\sqrt{\frac1{16}} =\frac14. \]
Теперь найдём тангенс:
\[ \tg A=\frac{\sin A}{\cos A} =\frac{\frac{\sqrt{15}}4}{\frac14} =\sqrt{15}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\cos A=\frac14,\quad \tg A=\sqrt{15}}. \]
Проверка:
\[ \left(\frac14\right)^2+\left(\frac{\sqrt{15}}4\right)^2 =\frac1{16}+\frac{15}{16}=1. \]
№ 2
В прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до \(90^\circ\), поэтому:
\[ \cos B=\sin A. \]
Найдём \(\sin A\):
\[ \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2} =\sqrt{1-\frac7{16}} =\sqrt{\frac9{16}} =\frac34. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\cos B=\frac34}. \]
№ 3
Сторона ромба:
\[ a=\frac{72}{4}=18. \]
Площадь ромба вычисляется по формуле:
\[ S=a^2\sin\alpha. \]
При \(\alpha=45^\circ\):
\[ S=18^2\cdot\sin45^\circ =324\cdot\frac{\sqrt2}{2} =162\sqrt2. \]
По условию нужно найти площадь, делённую на \(\sqrt2\):
\[ \frac{S}{\sqrt2} =\frac{162\sqrt2}{\sqrt2} =\boxed{162}. \]
№ 4
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:
\[ S=\frac12 ab\sin\alpha. \]
Подставим данные:
\[ S=\frac12\cdot26\cdot6\sqrt3\cdot\sin60^\circ. \]
Так как \(\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\), получаем:
\[ S=\frac12\cdot26\cdot6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{26\cdot6\cdot3}{4} =117. \]
\[ \boxed{S=117}. \]
№ 5
Площадь параллелограмма:
\[ S=ab\sin\alpha. \]
Подставим:
\[ S=88\cdot15\cdot\frac4{11}. \]
Сократим:
\[ S=8\cdot15\cdot4=480. \]
\[ \boxed{S=480}. \]
